Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácTrong bài trước ta đã biết, khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng, ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.
Ví dụ:
+) \(\dfrac{4x^2y^3}{16xy^5}=\dfrac{4xy^3.x}{4xy^3.4y^2}=\dfrac{x}{4y^2}\). Ta thấy phân thức \(\dfrac{x}{4y^2}\) đơn giản hơn phân thức \(\dfrac{4x^2y^3}{16xy^5}\).
+) \(\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)^2}{3\left(x+2\right)^3}\) \(=\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}{3}\) \(=\dfrac{2x^2+5x+2}{3}\). Rõ ràng phân thức \(\dfrac{2x^2+5x+2}{3}\) đơn giản hơn phân thức \(\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)^2}{3\left(x+2\right)^3}\) đã cho.
Thao tác biến đổi một phân thức để đưa nó về dạng đơn giản hơn được gọi là rút gọn phân thức.
Trong một số biểu thức, ta phải tìm cách biến đổi để tử và mẫu xuất hiện nhân tử chung, từ đó mới thực hiện rút gọn. Do đó, trước khi rút gọn, ta cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Ví dụ: Rút gọn phân thức \(\dfrac{x^2-9x+8}{x^2-5x+4}\).
Ta có: \(\dfrac{x^2-9x+8}{x^2-5x+4}=\dfrac{\left(x^2-x\right)-\left(8x-8\right)}{\left(x^2-x\right)-\left(4x-4\right)}=\dfrac{x\left(x-1\right)-8\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-8\right)\left(x-1\right)}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x-8}{x-4}.\)
Tổng quát, muốn rút gọn một phân thức, ta có thể thực hiện như sau:
- Phân tích cả tử và mẫu của phân thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung để rút gọn.
Lưu ý: Đôi khi ta cần đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức để xuất hiện nhân tử chung. Lưu ý tính chất: \(A=-\left(-A\right)\).
Ví dụ 1: Rút gọn các phân thức sau:
a) \(\dfrac{54\left(x-3\right)^3}{63\left(3-x\right)^2}\);
b) \(\dfrac{3a^2+6ab+3b^2}{a+b}\);
c) \(\dfrac{2x+4}{x^2-x-6}\);
d) \(\dfrac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}\).
Lời giải:
a) Ta có: \(\dfrac{54\left(x-3\right)^3}{63\left(3-x\right)^2}=\dfrac{54\left(x-3\right)^3}{63\left(x-3\right)^2}=\dfrac{54\left(x-3\right)}{63}=\dfrac{6}{7}\left(x-3\right).\)
b) Ta có: \(\dfrac{3a^2+6ab+3b^2}{a+b}=\dfrac{3\left(a^2+2ab+b^2\right)}{a+b}=\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{a+b}=3\left(a+b\right).\)
c) Ta có: \(\dfrac{2x+4}{x^2-x-6}=\dfrac{2\left(x+2\right)}{x^2-3x+2x-6}=\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{2}{x-3}.\)
d) Ta có: \(\dfrac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}=\dfrac{\left(x^2-xy\right)-\left(x-y\right)}{\left(x^2+xy\right)-\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{x\left(x-y\right)-\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)-\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x-1\right)}{\left(x+y\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x-y}{x+y}.\)
Ví dụ 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức \(B=\dfrac{x^3-x^2y+xy^2}{x^3+y^3}\) tại \(x=-5;y=10\).
Lời giải:
Ta có: \(B=\dfrac{x^3-x^2y+xy^2}{x^3+y^3}=\dfrac{x\left(x^2-xy+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}=\dfrac{x}{x+y}\).
Với \(x=-5;y=10\) ta có: \(B=\dfrac{-5}{-5+10}=\dfrac{-5}{5}=-1\).
Vậy \(B=\dfrac{x}{x+y}\). Khi \(x=-5;y=10\) thì \(B=-1\).
Trong một số trường hợp, việc biến đổi một biểu thức không chỉ nhằm đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn, mà còn có thể giúp ta có căn cứ đánh giá biểu thức đó.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}\).
Lời giải:
Điều kiện: \(x^2+2x+1\ne0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\ne0\Leftrightarrow x\ne-1.\)
Ta có: \(A=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+1}=\dfrac{x^2+2x+1-x}{x^2+2x+1}\)
\(=1-\dfrac{x}{\left(x+1\right)^2}=1-\dfrac{x+1-1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=1-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\)
\(=\left[\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}-2.\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right]+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\).
Ta có \(\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0,\forall x\ne-1\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{4}.\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+1=2\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(\dfrac{3}{4}\), đạt được khi \(x=1\).