Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácĐịnh nghĩa: Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Định lí:
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) làm vectơ chỉ phương là phương trình có dạng
\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+ta_1\\y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3\end{matrix}\right.\)
trong đó \(t\) là tham số.
Chú ý: Nếu \(a_1,a_2,a_3\ne0\) thì \(\Delta\) còn viết dưới dạng phương trình chính tắc có dạng
\(\dfrac{x-x_0}{a_1}=\dfrac{y-y_0}{a_2}=\dfrac{z-z_0}{a_3}\)
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M\left(1;2;3\right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}\left(1;-4;-5\right)\).
Giải:
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-4t\\z=3-5t\end{matrix}\right.\)
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) với \(A\left(1;-2;3\right)\) và \(B\left(3;0;0\right)\).
Giải:
Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2;-3\right)\)
Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-2+2t\\z=3-3t\end{matrix}\right.\).
Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+2t\\z=4+3t\end{matrix}\right.\) vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+4y+6z+9=0\).
Giải:
Đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+2t\\z=4+3t\end{matrix}\right.\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}\left(1;2;3\right)\)
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+4y+6z+9=0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\left(2;4;6\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}\), suy ra \(d\perp\left(\alpha\right)\).
Gọi \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{a'}=\left(a'_1;a'_2;a'_3\right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). Lấy \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\in d\).
+) \(d\equiv d'\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\M\in d'\end{matrix}\right.\).
+) \(d\) // \(d'\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\\M\notin d'\end{matrix}\right.\).
Ví dụ 4: Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song:
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t'\\y=3+4t'\\z=5-2t'\end{matrix}\right.\).
Giải:
\(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(1;2;-1\right)\). Lấy \(M\left(1;0;3\right)\in d\)
\(d'\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a'}=\left(2;4;-2\right)\).
Ta thấy \(\overrightarrow{a}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a'}\) và \(M\left(1;0;3\right)\notin d'\) nên suy ra \(d\) // \(d'\).
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn \(t,t'\) sau
\(\left\{{}\begin{matrix}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3\end{matrix}\right.\) \(\left(I\right)\)
có đúng 1 nghiệm.
Chú ý: Giả sử hệ \(\left(I\right)\) có nghiệm \(\left(t_0;t'_0\right)\), để tìm điểm \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\) ta có thể thay \(t_0\) vào phương trình tham số của \(d\) hoặc \(t'_0\) vào phương trình tham số của \(d'\).
Ví dụ 5: Chứng minh hai đường thẳng sau cắt nhau và tìm giao điểm của chúng:
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+3t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=2-2t'\\y=-2+t'\\z=1+3t'\end{matrix}\right.\).
Giải:
Xét hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}1+t=2-2t'\left(1\right)\\2+3t=-2+t'\left(2\right)\\3-t=1+3t'\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) và (2) suy ra \(t=-1,t'=1\). Thay \(t=-1,t'=1\) vào (3) thấy thoả mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(t=-1,t'=1\),
Suy ra \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại \(M\left(0;-1;4\right)\).
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) không cùng phương và hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}x_0+ta_1=x'_0+t'a'_1\\y_0+ta_2=y'_0+t'a'_2\\z_0+ta_3=z'_0+t'a'_3\end{matrix}\right.\)
vô nghiệm.
Chú ý: Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a'}=0\).
Ví dụ 6: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1+3t\\z=5+t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t'\\y=-2+2t'\\z=-1+2t'\end{matrix}\right.\).
Giải:
Ta có \(\overrightarrow{a}=\left(2;3;1\right)\) và \(\overrightarrow{a'}=\left(3;2;2\right)\)
Vì không tồn tại số \(k\) để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'}\) nên \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a'}\) không cùng phương. Từ đó suy ra \(d\) và \(d'\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}1+2t=1+3t'\\-1+3t=-2+2t'\\5+t=-1+2t'\end{matrix}\right.\)
Từ hai phương trình đầu ta được \(t=-\dfrac{3}{5},t'=-\dfrac{2}{5}\). Thay vào phương trình thứ ba thấy không thoả mãn.
Suy ra hệ trên vô nghiệm.
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trong không gian cho đường thẳng \(d:\begin{cases}x=x_0+ta_1\\y=y_0+ta_2\\z=z_0+ta_3\end{cases}\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):Ax+By+Cz+D=0\).
Xét phương trình : \(A\left(x_0+ta_1\right)+B\left(y_0+ta_2\right)+C\left(z_0+ta_3\right)+D=0\) (t là ẩn) (1)
+) \(d\) // \(\left(\alpha\right)\) \(\Leftrightarrow\) (1) vô nghiệm
+) \(d\) cắt \(\left(\alpha\right)\) \(\Leftrightarrow\) (1) có đúng 1 nghiệm \(t=t_0\). Khi đó toạ độ giao điểm là \(M\left(x_0+t_0a_1;y_0+t_0a_2;z_0+t_0a_3\right)\)
+) \(d\) \(\subset\) \(\left(\alpha\right)\) \(\Leftrightarrow\) (1) có vô số nghiệm.
Ví dụ 7: Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng \(\left(P\right):x+y+z-3=0\) với đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3-t\\z=1\end{matrix}\right.\).
Giải:
Xét phương trình: \(\left(2+t\right)+\left(3-t\right)+1-3=0\)
\(\Leftrightarrow3=0\) (vô nghiệm)
\(\left(P\right)\) và \(d\) không có điểm chung hay \(d\) // \(\left(P\right)\).
| Hoaa đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (14 tháng 8 2023 lúc 21:44) | 0 lượt thích |