Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Định nghĩa : Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) có giá song song hoặc trùng với d gọi là vectơ chỉ phương của d.

2. Phương trình tham số của đường thẳng.

Đường thẳng qua \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số

\(d:\begin{cases}x=x_0+a_1t\\y=y_0+a_2t\\z=z_0+a_3t\end{cases}\)

Nhận xét.

• Đường thẳng ∆ qua  \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\)  và có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow{u}\left(a_1;a_2;a_3\right)\).

• Nếu \(a_1;a_2;a_3\ne0\) thì d còn viết dưới dạng \(\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\) gọi là dạng chính tắc.

• Nếu d song song với (P) và M ∈ d thì d (d; (P)) = d (M; (P)).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

\(d\equiv d'\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}\right]=\overrightarrow{0}\)

\(d\)//\(d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]=\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\right]\ne\overrightarrow{0}\end{cases}\)

•  \(d\) cắt  \(d'\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\ne\overrightarrow{0}\\\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}=\overrightarrow{0}\end{cases}\)

• d và \(d'\) chéo nhau \(\Leftrightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right].\overrightarrow{M_0}\overrightarrow{M'_0}\ne0\)

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d :\(d:\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\) và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0.

Số giao điểm của d và (P) là số nghiệm phương trình : \(A\left(x_0+at\right)+B\left(y_0+bt\right)+C\left(z_0+ct\right)+D=0\)(1)

• d ⊂ (α) ⇔ (1) có vô số nghiệm.

• d||(α) ⇔ (1) vô nghiệm.

• d cắt (α) ⇔ (1) có một nghiệm.

• d⊥(α) ⇔ \(d\perp\left(\alpha\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{u_d}=k\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\)

5. Góc giữa hai đường thẳng.

• Giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) với \(\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\) là các vecto chỉ phương :

       \(\cos\alpha=\frac{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\overrightarrow{u_{d2}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{d1}}\right|.\left|\overrightarrow{u_{d2}}\right|}\) 

• Giữa đường thẳng \(d\) với vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}\) và mặt phẳng (P) với vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\):

      \(\sin\beta=\frac{\left|\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right|}\)

6. Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

• Từ một điểm M đến một đường thẳng \(d\) đi qua \(M_0\)  và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_d}\):

   d M 0 M > u d ^ S = | [ u , MM ] | d 0 MH = S/|u | d H

   \(kc\left(M,d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{M_0M}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|}\)  

 [Chú ý: \(\left|\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{MM_0}\right]\right|\) là độ dài của vecto là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow{u_d}\) và \(\overrightarrow{MM_0}\), độ dài của vecto tích có hướng này bằng diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vecto \(\overrightarrow{u_d}\) và \(\overrightarrow{MM_0}\) . Khi chia diện tích này cho độ dài cạnh \(\left|\overrightarrow{u_d}\right|\) ta được đường cao hạ từ M xuống \(\overrightarrow{u_d}\). (xem hình vẽ bên trên)]

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua hai điểm A và B:

   \(kc\left(M,AB\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\)

• Giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d_1\) đi qua \(M_1\) có veco chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\)  và đường thẳng \(d_2\) đi qua \(M_2\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u_2}\):

   d 1 d 2 M 1 M 2 > [u , u ] 1 2 H I J

Khoảng cách giữa \(d_1\) và \(d_2\) là IJ và bằng \(M_1H\) trong hình trên và bằng hình chiếu của \(M_1M_2\) lên vecto \(\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\) (là tích có hướng của hai vecto chỉ phương, vuông góc với cả hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng).

Ta có \(M_1H=\overrightarrow{\left|M_1M_2\right|}.\cos\left(\widehat{\overrightarrow{M_1M_2},\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}\right)=\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|\frac{\overrightarrow{M_1M_2}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]}{\left|\overrightarrow{M_1M_2}\right|.\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\)

Suy ra:

\(kc\left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right].\overrightarrow{M_1M_2}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\right|}\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

 \(kc\left(AB,CD\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]\right|}\)

7. Các ví dụ

Ví dụ 1: (Bạch Đằng-Hải Phòng 2015) Cho điểm $A(-4;1;3)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+3}{3}$. Tìm tọa độ điểm $B$ thuộc $d$ sao cho $AB=\sqrt{27}$.
ĐS: $B\left(-\dfrac{13}{7};\dfrac{10}{7};-\dfrac{12}{7}\right)$
Ví dụ 2: (Chuyên ĐH Vinh 2015 L1) Cho mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z}{-1}$. Tìm điểm $A$ thuộc $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ bằng $2\sqrt{3}$.
ĐS: $A(4;-5;-2)$ hoặc $A(-2;7;4)$
Ví dụ 3: Cho $I(1;1;1)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-14}{4}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2}$. Tìm hình chiếu H của I trên d, từ đó tính khoảng cách từ I tới d.
ĐS: $H(2;-3;1),d(I,d)=\sqrt{17}$
Ví dụ 4: (Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định 2015) Cho $A(2;1;-1),\overrightarrow{AB}(1;0;3)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $OA$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$.
ĐS: $M\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{6};-\dfrac{5}{6}\right)$

Ví dụ 5: (Đại học Khối B 2011) Cho $\Delta:\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z+5}{-2}$ và A(-2;1;1),B(-3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $3\sqrt{5}$.
ĐS: $M(-2;1;-5)$ hoặc $M(-14;-35;19)$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt phẳng

Hình học giải tích trong không gian

Hình học giải tích trong không gian, lý thuyết cơ bản

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...