Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 

\(ax^2+bx+c=0\)

trong đó \(x\) là ẩn\(a,b,c\) là các số cho trước, gọi là các hệ số thỏa mãn \(a\ne0\).

- Các hệ số \(a,b,c\) có thể là các số nguyên, số thập phân, phân số, căn thức..., có thể nhận giá trị âm hoặc dương nhưng phải thỏa mãn điều kiện \(a\ne0\).

Ví dụ: 

+) \(x^2-2x+3=0\) là một phương trình bậc hai, trong đó \(a=1;b=-2;c=3\).

+) \(-\dfrac{1}{2}x^2+4x-1=0\) là một phương trình bậc hai, trong đó \(a=-\dfrac{1}{2};b=4;c=-1\).

+)  \(\sqrt{2}x^2-3=0\) là một phương trình bậc hai, trong đó \(a=\sqrt{2};b=0;c=-3\).

+) \(1,5x^2+4x=0\) là một phương trình bậc hai, trong đó \(a=1,5;b=4;c=0\).

​@60148@@101911@

 

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

- Với phương trình bậc hai có hệ số \(b=0\): Ta dễ dàng thu được phương trình dạng \(x^2=k\), từ đó giải được phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình \(3x^2-1=0\)

Ta có: \(3x^2-1=0\Leftrightarrow3x^2=1\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Vậy phương trình có nghiệm \(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

 

@60150@

- Một số phương trình bậc hai có thể giải được bằng cách đưa về phương trình tích.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(2x^2-3x=0\)

Ta có: \(2x^2-3x=0\Leftrightarrow x\left(2x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=0;x=\dfrac{3}{2}\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(x^2-5x+6=0\)

Ta có: \(x^2-5x+6=0\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)-\left(3x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2;x=3\).

 

@60152@@102922@

- Với những phương trình không thể nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích: Dùng hằng đẳng thức số một hoặc số hai, kết hợp chuyển vế để đưa phương trình về dạng \(\left(Ax+B\right)^2=C\).

Ví dụ: Giải phương trình \(2x^2-8x+1=0\)

+) Chuyển hệ số 1 sang vế phải ta được: \(2x^2-8x=-1\).

+) Chia cả hai vế cho 2 ta được: \(x^2-4x=-\dfrac{1}{2}\).

+) Tách \(4x=2.x.2\), như vậy ta cần cộng thêm vào từng vế một lượng là \(2^2\) để thu được:

\(x^2-2.x.2+2^2=-\dfrac{1}{2}+2^2\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=\dfrac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow x-2=\pm\sqrt{\dfrac{7}{2}}\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{\dfrac{7}{2}}=2\pm\dfrac{\sqrt{14}}{2}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{4+\sqrt{14}}{2}\), \(x=\dfrac{4-\sqrt{14}}{2}\).

 

@60157@@60158@@103146@

 

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN