Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

1. Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu như tổng của chúng bằng 0.

Ví dụ: 

+) \(\dfrac{2x}{x+3}\) là phân thức đối của \(\dfrac{-2x}{x+3}\) vì \(\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{-2x}{x+3}=0\). Ngược lại, \(\dfrac{-2x}{x+3}\) cũng là phân thức đối của \(\dfrac{2x}{x+3}\).

+) \(\dfrac{x-1}{x^2+2}\) là phân thức đối của \(\dfrac{1-x}{x^2+2}\) vì \(\dfrac{x-1}{x^2+2}+\dfrac{1-x}{x^2+2}=0\). Ngược lại \(\dfrac{1-x}{x^2+2}\) cũng là phân thức đối của \(\dfrac{x-1}{x^2+2}\).

Tổng quát: Với phân thức \(\dfrac{A}{B}\), ta có \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{-A}{B}=0\), nên \(\dfrac{-A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) và ngược lại, \(\dfrac{A}{B}\) là phân thức đối của \(\dfrac{-A}{B}\).

Phân thức đối của \(\dfrac{A}{B}\) được kí hiệu là \(-\dfrac{A}{B}\).

\(-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B}\) và \(-\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{B}\).

Ví dụ: Tìm phân thức đối của các phân thức sau:

a) \(\dfrac{x}{x-3}\);

b) \(\dfrac{3x-2}{x+1}\);

c) \(\dfrac{2-x}{x-x^2}\).

Lời giải:

a) Phân thức đối của \(\dfrac{x}{x-3}\) là \(-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{-x}{x-3}\).

b) Phân thức đối của \(\dfrac{3x-2}{x+1}\) là \(-\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{-3x+2}{x+1}\).

c) Phân thức đối của \(\dfrac{2-x}{x-x^2}\) là \(-\dfrac{2-x}{x-x^2}=\dfrac{x-2}{x-x^2}\).

2. Phép trừ phân thức 

Ví dụ: Thực hiện phép tính \(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}\).

Như trên ta đã biết: \(-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{-2}{x-1}\), do đó, ta có thể viết phép tính trên như sau:

\(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{-2}{x-1}\).

Đến đây, dùng quy tắc cộng phân thức đã học ở bài trước, ta có:

\(\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{-2}{x-1}=\dfrac{2x-2}{x-1}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{x-1}=2.\)

Với các phép trừ phân thức khác, ta cũng có thể chuyển về phép cộng phân thức và áp dụng quy tắc đã học.

Quy tắc: Muốn trừ phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\), ta cộng \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \(\dfrac{C}{D}\).

\(\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left(-\dfrac{C}{D}\right).\)

Kết quả của phép trừ \(\dfrac{A}{B}\) cho \(\dfrac{C}{D}\) được gọi là hiệu của \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\).

Ví dụ: Thực hiện phép tính sau:

a) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}\);

b) \(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x^2+x}\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}=\dfrac{y}{x-y}+\dfrac{-x}{x-y}=\dfrac{y-x}{x-y}=-1.\)

b) \(\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac{2x}{x^2-1}+\dfrac{-1}{x^2+x}=\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{-1}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x^2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{-\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x^2-\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2x^2-x+1}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\).

Chú ý: 

• Ta cũng có thể thực hiện một dãy nhiều phép trừ tương tự như thực hiện một dãy nhiều phép cộng trong bài trước.
• Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng tương tự như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) \(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{1-x}{x+3}-\dfrac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\);

b) \(\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x+3}{1-x^2}\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{x+1}{x-3}-\dfrac{1-x}{x+3}-\dfrac{2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\)

\(=\text{​​}\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{-\left(1-x\right)}{x+3}+\dfrac{-2x\left(1-x\right)}{9-x^2}\)

\(=\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x-1}{x+3}+\dfrac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)+\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x+3x+3+x^2-3x-x+3+2x-2x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{2}{x-3}.\)

b) \(\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x+3}{1-x^2}\)

\(=\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{-x-3}{x^2-1}\)

\(=\dfrac{3x+1}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{-x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(3x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}+\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}+\dfrac{\left(-x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(3x+1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)^2+\left(-x-3\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{3x^2+3x+x+1-x^2+2x-1-x^2+x-3x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}\)

\(=\dfrac{x^2+4x+3}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)^2}.\)