Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

1. Quy tắc 

Hoàn toàn tương tự như phép nhân phân số, ta có quy tắc nhân hai phân thức đại số như sau:

Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{A.C}{B.D}\)

Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích dưới dạng rút gọn.

Ví dụ: 

+) \(\dfrac{1}{x-2}.\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{1.x^2}{\left(x-2\right).4}=\dfrac{x^2}{4\left(x-2\right)}.\)

+) \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{3x^3}.\dfrac{2x}{x^2-1}=\dfrac{\left(x+1\right)^2.2x}{3x^3\left(x^2-1\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)^2.2x}{3x^3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2\left(x+1\right)}{3x^2\left(x-1\right)}.\)

Nhận xét: Để rút gọn tích của hai phân thức, đôi khi ta phải thực hiện các thao tác đổi dấu, phân tích thành nhân tử... ở tử thức và mẫu thức.

Chú ý: Phép nhân các tính chất có các tính chất:

• Giao hoán: \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}=\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}.\)
• Kết hợp: \(\left(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}\right).\dfrac{E}{F}=\dfrac{A}{B}.\left(\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}\right).\)
• Phân phối giữa phép nhân với phép cộng: \(\dfrac{A}{B}\left(\dfrac{C}{D}+\dfrac{E}{F}\right)=\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}+\dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}.\)

Nhờ các tính chất trên, trong một dãy các phép nhân, ta không cần phải đặt dấu ngoặc.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) \(\dfrac{10x^3}{11y^2}.\left(-\dfrac{121y^5}{25x}\right)\);

b) \(\dfrac{3x+12}{4x-16}.\dfrac{8-2x}{x+4}\);

c) \(\dfrac{x^2y+xy^2}{2x-2y}.\dfrac{15x-15y}{x^3y+2x^2y^2+xy^3}\);

d) \(\dfrac{x+3}{x^2-4}.\dfrac{8-12x+6x^2-x^3}{9x+27}\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{10x^3}{11y^2}.\left(-\dfrac{121y^5}{25x}\right)=\dfrac{-10x^3.11^2.y^5}{11y^2.5^2.x}=-\dfrac{22x^2y^3}{5}.\)

b) \(\dfrac{3x+12}{4x-16}.\dfrac{8-2x}{x+4}=\dfrac{3\left(x+4\right)}{4\left(x-4\right)}.\dfrac{-2\left(x-4\right)}{x+4}=\dfrac{3.\left(-2\right)}{4}=-\dfrac{3}{2}.\)

c) \(\dfrac{x^2y+xy^2}{2x-2y}.\dfrac{15x-15y}{x^3y+2x^2y^2+xy^3}=\dfrac{xy\left(x+y\right)}{2\left(x-y\right)}.\dfrac{15\left(x-y\right)}{xy\left(x+y\right)^2}=\dfrac{15}{2\left(x+y\right)}.\)

d) \(\dfrac{x+3}{x^2-4}.\dfrac{8-12x+6x^2-x^3}{9x+27}=\dfrac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\dfrac{-\left(x-2\right)^3}{9\left(x+3\right)}=-\dfrac{\left(x-2\right)^2}{9\left(x+2\right)}.\)

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\dfrac{x+y}{x}.\dfrac{x^2+xy}{6}.\dfrac{3x}{x^2-y^2}\);

b) \(\dfrac{x+4}{5}.\dfrac{x+1}{2x}.\dfrac{5x-15}{x^2+4x+5}\);

c) \(\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{x^2+6x}{x+4}+\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{4-x}{x+4}\);

d) \(\dfrac{x-2}{x}\left(x^2+x-\dfrac{x^3}{x-2}\right)\).

Lời giải:

a) \(\dfrac{x+y}{x}.\dfrac{x^2+xy}{6}.\dfrac{3x}{x^2-y^2}=\dfrac{x+y}{x}.\dfrac{x\left(x+y\right)}{6}.\dfrac{3x}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{x\left(x+y\right)}{2\left(x-y\right)}.\)

b) \(\dfrac{x+4}{5}.\dfrac{x+1}{2x}.\dfrac{5x-15}{x^2+4x+5}=\dfrac{x+4}{5}.\dfrac{x+1}{2x}.\dfrac{5\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}=\dfrac{x-3}{2x}.\)

c) \(\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{x^2+6x}{x+4}+\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{4-x}{x+4}=\dfrac{x+3}{x^2-1}\left(\dfrac{x^2+6x}{x+4}+\dfrac{4-x}{x+4}\right)\)

\(=\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{x^2+5x+4}{x+4}=\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)}=\dfrac{x+3}{x-1}.\)

d) \(\dfrac{x-2}{x}\left(x^2+x-\dfrac{x^3}{x-2}\right)=\dfrac{x^2\left(x-2\right)}{x}+\dfrac{x\left(x-2\right)}{x}-\dfrac{x-2}{x}.\dfrac{x^3}{x-2}\)

\(=x\left(x-2\right)+x-2-x^2=x^2-2x+x-2-x^2=-x-2.\)

Lưu ý: Trong thực hành, ta nên sử dụng linh hoạt các tính chất của phép nhân để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn trước khi thực hiện yêu cầu bài toán (tương tự ví dụ c), d)).