Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácQuy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}\)
Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4x}{x+2}\);
b) \(\dfrac{3x-1}{3x^2y}+\dfrac{2-y}{3x^2y}\);
c) \(\dfrac{x^3-5x}{x^2+x+1}+\dfrac{5x-1}{x^2+x+1}\);
d) \(\dfrac{6-5x}{x-4}+\dfrac{2-x^2}{4-x}\).
Lời giải:
a) \(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4x}{x+2}=\dfrac{2+4x}{x+2}.\)
b) \(\dfrac{3x-1}{3x^2y}+\dfrac{2-y}{3x^2y}=\dfrac{3x-1+2-y}{3x^2y}=\dfrac{3x-y+1}{3x^2y}\).
c) \(\dfrac{x^3-5x}{x^2+x+1}+\dfrac{5x-1}{x^2+x+1}=\dfrac{x^3-5x+5x-1}{x^2+x+1}=\dfrac{x^3-1}{x^2+x+1}\)
\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=x-1.\)
d) \(\dfrac{6-5x}{x-4}+\dfrac{2-x^2}{4-x}=\dfrac{6-5x}{x-4}+\dfrac{x^2-2}{x-4}=\dfrac{6-5x+x^2-2}{x-4}\)
\(=\dfrac{x^2-5x+4}{x-4}=\dfrac{x^2-4x-x+4}{x-4}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{x-4}=x-1.\)
Nhận xét: Từ ví dụ d), ta có thể thấy: Đôi khi ta cần thực hiện quy tắc đổi dấu cả tử và mẫu của một (một số) phân thức trong phép toán để xuất hiện mẫu thức giống nhau.
Ở bài học trước ta đã biết, với hai phân thức khác mẫu thức, ta có thể thực hiện quy đồng để đưa về các phân thức cùng mẫu. Khi đó, ta có thể áp dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức phía trên để giải quyết bài toán.
Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu thức vừa tìm được.
Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức ấy. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
a) \(\dfrac{3}{x^2+3x}+\dfrac{2x}{3x+9}\);
b) \(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{-2x}{x^2-1}\).
Lời giải:
a) Ta có: \(x^2+3x=x\left(x+3\right);\) \(3x+9=3\left(x+3\right)\)
\(\Rightarrow\) MTC: \(3x\left(x+3\right)\).
Khi đó ta có:
\(\dfrac{3}{x^2+3x}+\dfrac{2x}{3x+9}=\dfrac{3}{x\left(x+3\right)}+\dfrac{2x}{3\left(x+3\right)}=\dfrac{3.3}{3x\left(x+3\right)}+\dfrac{2x^2}{3x\left(x+3\right)}=\dfrac{2x^2+9}{3x\left(x+3\right)}.\)
b) Ta có: \(2x-2=2\left(x-1\right)\); \(x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow\) MTC: \(2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\).
Khi đó ta có:
\(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{-2x}{x^2-1}=\dfrac{x+1}{2\left(x-1\right)}+\dfrac{-2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{-2x.2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2-4x}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x^2+2x+1-4x}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{x^2-2x+1}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{x-1}{2\left(x+1\right)}.\)
Chú ý: Phép cộng phân thức cũng có các tính chất:
Nhờ các tính chất trên, trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta không cần đặt dấu ngoặc.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
a) \(\dfrac{1}{2x-3}+\dfrac{3x}{2x-3}+\dfrac{x+1}{3-2x}\);
b) \(\dfrac{x}{x-y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\).
Lời giải:
a) Ta có: \(\dfrac{1}{2x-3}+\dfrac{3x}{2x-3}+\dfrac{x+1}{3-2x}=\dfrac{1}{2x-3}+\dfrac{3x}{2x-3}+\dfrac{-x-1}{2x-3}\)
\(=\dfrac{1+3x-x-1}{2x-3}=\dfrac{2x}{2x-3}.\)
b) Ta có: \(\dfrac{x}{x-y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}=\dfrac{x}{x-y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{x\left(x+y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{x\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{x^2+xy+xy-y^2+2y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)
\(=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{x+y}{x-y}.\)