Bài 1: Phân thức đại số.

1. Định nghĩa

Ta có định nghĩa sau:

Một phân thức đại số (gọi tắt là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\dfrac{A}{B}\), trong đó \(A,B\) là những đa thức và \(B\) khác đa thức \(0\).

Ta gọi \(A\) là tử thức (hay tử); \(B\) là mẫu thức (hay mẫu).

Ví dụ: \(\dfrac{2x-3}{x-1}\); \(\dfrac{3-7x}{x^2-5x+8}\); \(\dfrac{1}{x^4-x^3+x-1}\); \(\dfrac{x^3-x^5+2}{1-x}\)... là các phân thức đại số.

Nhận xét: Mỗi đa thức cũng là một phân thức với mẫu thức bằng \(1\). Như vậy, mỗi số thực đều là một phân thức đại số. 

Ví dụ: Đa thức \(x^3-2x+2\) viết dưới dạng phân thức là \(\dfrac{x^3-2x+2}{1}\).

Theo định nghĩa, ta cần đặc biệt lưu ý:

Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi và chỉ khi mẫu thức \(B\ne0\).

Ví dụ: 

+) Phân thức \(\dfrac{x-3}{4x-7}\) xác định khi và chỉ khi \(4x-7\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{7}{4}.\)

+) Phân thức \(\dfrac{12}{x^2-9x+8}\) xác định khi và chỉ khi \(x^2-9x+8\ne0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-8\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x-8\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\x\ne8\end{matrix}\right..\)

Ghi nhớ: Khi làm việc với các biểu thức chứa phân thức đại số, ta cần tìm điều kiện để các phân thức xác định (có nghĩa) trước khi thực hiện các thao tác và biến đổi tiếp theo.

Ví dụ: Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức \(A=\dfrac{1}{2x-3}+x^2-3x-\dfrac{x^6+1}{4x^2-1}\).

Lời giải: 

\(A\) xác định \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ne0\\4x^2-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{3}{2}\\x^2\ne\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{3}{2}\\x\ne\dfrac{1}{2}\\x\ne-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right..\)

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) được gọi là bằng nhau nếu \(A.D=B.C\). Ta viết:

\(\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\) nếu \(A.D=B.C\).

Ví dụ 1:

+) Hai phân thức \(\dfrac{x}{x^3y}\) và \(\dfrac{y}{x^2y^2}\) bằng nhau (với mọi \(x,y\ne0\)) vì \(x.\left(x^2y^2\right)=y.\left(x^3y\right)=x^3y^2.\)

+) Hai phân thức \(\dfrac{x-3}{x^2-9}\) và \(\dfrac{1}{x+3}\) bằng nhau (với mọi \(x\ne\pm3\)) vì \(\left(x-3\right)\left(x+3\right)=\left(x^2-9\right).1\).

Ví dụ 2: Dùng định nghĩa phân thức, hãy tìm đa thức \(A\) sao cho \(\dfrac{5x^2-13x+6}{A}=\dfrac{5x-3}{2x+5}\) với \(x\ne\dfrac{3}{5};x\ne-\dfrac{5}{2}\).

Lời giải:

Để \(\dfrac{5x^2-13x+6}{A}=\dfrac{5x-3}{2x+5}\) thì \(A\left(5x-3\right)=\left(5x^2-13x+6\right)\left(2x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow A\left(5x-3\right)=\left(5x^2-10x-3x+6\right)\left(2x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow A\left(5x-3\right)=\left(5x-3\right)\left(x-2\right)\left(2x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x-2\right)\left(2x-5\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2x^2+x-10.\)

Lưu ý: Trong ví dụ trên, điều kiện \(x\ne-\dfrac{5}{2}\) để đảm bảo vế phải có nghĩa; còn sở dĩ ta có thể thực hiện chia hai vế cho biểu thức \(5x-3\) nhờ điều kiện \(x\ne\dfrac{3}{5}\).

Ví dụ 3: Với giá trị nào của \(x\) thì hai phân thức \(\dfrac{2-2x}{x^3-1}\) và \(\dfrac{2x+2}{x^2+x+1}\) bằng nhau?

Lời giải:

Điều kiện xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3-1\ne0\\x^2+x+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^3-1\ne0\Leftrightarrow x^3\ne1\Leftrightarrow x\ne1.\)

(do \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0,\forall x\)).

Khi đó ta có: 

\(\dfrac{2-2x}{x^3-1}=\dfrac{2x+2}{x^2+x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2-2x\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^3-1\right)=\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2=2x+2\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (thỏa mãn).

Vậy khi \(x=2\) thì hai phân thức \(\dfrac{2-2x}{x^3-1}\) và \(\dfrac{2x+2}{x^2+x+1}\) bằng nhau.