Nội dung lý thuyết
- Một phương trình với ẩn \(x\) có dạng \(A\left(x\right)=B\left(x\right)\), trong đó vế trái \(A\left(x\right)\) và vế phải \(B\left(x\right)\) là hai biểu thức của cùng một biến \(x\).
Ví dụ: +) \(\left(2x+1\right)\left(x+2\right)=\dfrac{1}{2}x^2-x+1\) là một phương trình một ẩn \(x\).
+) \(\dfrac{y-1}{5}+2y=\dfrac{\left(y-3\right)\left(y+1\right)}{2}\) là một phương trình một ẩn \(y\).
- Chú ý:
+ Hệ thức \(x=m\) (với \(m\) là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng \(m\) là nghiệm duy nhất của nó.
Ví dụ: Phương trình \(x=-2\) có nghiệm duy nhất là \(-2\).
+ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Phương trình \(x^2=-1\) là phương trình vô nghiệm.
Phương trình \(x^2=1\) có hai nghiệm là \(x=1\) và \(x=-1\).
Phương trình \(2x=\dfrac{4x}{2}\) có vô số nghiệm hay nghiệm đúng với mọi \(x\).
- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và được kí hiệu là \(S\).
Ví dụ: Phương trình \(x^2=1\) có tập nghiệm là \(S=\left\{\pm1\right\}\).
- Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm, được kí hiệu bởi dấu "\(\Leftrightarrow\)"
Ví dụ: \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\).
- Định nghĩa: Phương trình có dạng \(ax+b=0\), với \(a\),\(b\) là hai số đã cho và \(a\ne0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ: Phương trình \(2x+3=0\) là một phương trình bậc nhẩt một ẩn.
- Hai quy tắc thường dùng để biến đổi phương trình:
+ Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia đồng thời đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ: Trong phương trình \(2x+3=0\) ta có thể chuyển hạng tử +3 sang vế phải và đổi dấu nó thành -3, được: \(2x=-3\).
+ Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với (hoặc chia cả hai vế cho) cùng một số khác 0.
Ví dụ: Phương trình \(2x=-3\) ta có thể chia cả hai vế cho 2 ta được \(x=-\dfrac{3}{2}\).
- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn \(ax+b=0\left(a\ne0\right)\):
\(ax+b=0\Leftrightarrow ax=-b\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a}\)
Ví dụ: Giải phương trình \(3x+1=0\).
\(3x+1=0\Leftrightarrow3x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{3}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{-1}{3}\right\}\).
Các bước thường làm:
- Quy đồng mẫu số hai vế rồi khử mẫu (nếu cần).
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc.
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số ở vế bên kia.
- Thu gọn phương trình về dạng \(ax+b=0\) hay \(ax=-b\) rồi giải phương trình.
- Trong một số trường hợp ta cũng có thể áp dụng các cách biến đổi khác đơn giản hơn như đặt nhân tử chung,....
Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+2}{6}\).
Giải:
\(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x}{3}=\dfrac{x+2}{6}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x-1\right)}{6}+\dfrac{2x}{6}=\dfrac{x+2}{6}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)+2x=x+2\)
\(\Leftrightarrow3x-3+2x=x+2\)
\(\Leftrightarrow3x+2x-x=2+3\)
\(\Leftrightarrow4x=5\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{5}{4}\right\}\).
- Phương trình có dạng \(A\left(x\right)B\left(x\right)...=0\) được gọi là phương trình tích.
Ví dụ: Phương trình \(x\left(x-1\right)=0\) là một phương trình tích,
Phương trình \(\left(2y-1\right)\left(y+2\right)=0\) là một phương trình tích.
- Cách giải: Để giải một phương trình tích ta áp dụng công thức:
\(A\left(x\right)B\left(x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(A\left(x\right)=0\) hoặc \(B\left(x\right)=0\)
Như vậy, để giải phương trình \(A\left(x\right)B\left(x\right)=0\), ta đi giải hai phương trình \(A\left(x\right)=0\) và \(B\left(x\right)=0\) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ: Giải phương trình \(x\left(x-1\right)=0\).
Giải:
\(x\left(x-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\).
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{0;1\right\}\).
- Có một số phương trình ta phải thực hiện một số bước biến đổi (như chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử...) để đưa nó về dạng phương trình tích sau đó giải phương trình tích thu được.
Ví dụ: Giải phương trình \(x^2+x-2=0\).
Giải:
\(x^2+x-2=0\) \(\Leftrightarrow x^2+2x-x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-2\right\}\).
- Điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của một phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu trong phương trình khác 0.
- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta luôn phải tìm điều kiện xác định trước khi tiến hành giải phương trình.
Ví dụ: ĐKXĐ của phương trình \(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{2x-1}{x}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3-x}{x+1}\) là \(x\ne0;x\ne-1\).
- Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị của ẩn vừa tìm được ở bước 3, giá trị nào thoả mãn ĐKXĐ thì đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{x}{2\left(x-3\right)}+\dfrac{x}{2x+2}=\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
Giải:
\(\dfrac{x}{2\left(x-3\right)}+\dfrac{x}{2x+2}=\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\) (ĐKXĐ: \(x\ne3;x\ne-1\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x+1\right)+x\left(x-3\right)}{2\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{4x}{2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)+x\left(x-3\right)=4x\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+x^2-3x-4x=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-6x=0\)
\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=3\left(L\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{0\right\}\).
- Tóm tắt các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm vừa tìm được, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
- Chú ý: Trong quá trình làm bài, không phải lúc nào ta cũng chọn đại lượng cần tìm làm ẩn, ta có thể chọn một đại lượng khác làm ẩn sao cho lập và giải phương trình được ngắn gọn và dễ dàng, sau đó dựa vào mối liên hệ gữa các đại lượng để tìm ra đại lượng cần tìm.