Ôn tập chương II

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Ôn tập về hàm số

- Nếu với mỗi giá trị của \(x\) thuộc tập \(D\) có một và chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thuộc tập số thực \(R\) thì ta có một hàm số.

Ta gọi \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\). Tập hợp \(D\) được gọi là tập xác định của hàm số.

- Các cách cho hàm số:

      + Hàm số cho bằng bảng

      + Hàm số cho bằng biểu đồ

      + Hàm số cho bẳng công 

- Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói gì đến tập xác định của nó thì ta có quy ước: Tập xác định của hàm số \(y=f\left(x\right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left(x\right)\) có nghĩa.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{x-3}\).

Ta có: Biểu thức \(\sqrt{x-3}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge3\)

Vậy tập xác định của hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{x-3}\) là \(D=[3;+\infty)\)

 

@70565@

- Chú ý: Một hàm số có thể được cho bởi một, hai, ba,... công thức.

  Chẳng hạn hàm số \(y=\left\{{}\begin{matrix}2x+1\left(x\ge0\right)\\-x^2\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\) , nghĩa là với \(x\ge0\) hàm số được xác định bởi biểu thức \(f\left(x\right)=2x+1\), với \(x< 0\) hàm số được xác định bởi công thức \(g\left(x\right)=-x^2\).

- Đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên tập \(D\) là tập hợp tất cả các điểm \(M\left(x;f\left(x\right)\right)\) trên mặt phẳng tọa độ với mọi \(x\) thuộc \(D\).

- Sự biến thiên của hàm số:

     + Hàm số \(y=f\left(x\right)\) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng \(\left(a;b\right)\) nếu                                                               \(\forall x_1,x_2\in\left(a;b\right):x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\)

     + Hàm số \(y=f\left(x\right)\) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng \(\left(a;b\right)\) nếu     

                          \(\forall x_1,x_2\in\left(a;b\right):x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\)

- Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 

Ví dụ: Bảng biến thiên của hàm số \(y=x^2\):

- Tính chẵn lẻ của hàm số:

     + Hàm số \(y=f\left(x\right)\) với tập xác định \(D\) gọi là hàm số chẵn nếu 

            \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)

     + Hàm số \(y=f\left(x\right)\) với tập xác định \(D\) gọi là hàm số lẻ nếu 

           \(\forall x\in D\) thì \(-x\in D\) và \(f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\)

Ví dụ:

+ Hàm số \(y=3x^2-2\) là một hàm số chẵn ;

+ Hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là một hàm số lẻ ;

+ Hàm số \(y=2x+1\) không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ ;...

- Nhận xét: Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ;

                   Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Hàm số bậc nhất 

- Hàm số bậc nhất có dạng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\)

- Tập xác định: \(D=R\)

- Chiều biến thiên: Với \(a>0\) hàm số đồng biến trên \(R\) 

                              Với \(a< 0\) hàm số nghịch biến trên \(R\)

- Đồ thị của hàm số \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng \(y=ax\) (nếu \(b\ne0\)) và đi qua hai điểm \(A\left(0;b\right)\) và \(B\left(-\dfrac{b}{a};0\right)\).

Với \(a>0\):

Với \(a< 0\):

- Đồ thị của hàm hằng \(y=b\) là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm \(\left(0;b\right)\). Đường thẳng này gọi là đường thẳng \(y=b\).

3. Hàm số \(y=\left|x\right|\) 

- Tập xác định: \(D=R\)

- Chiều biến thiên: Hàm số \(y=\left|x\right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\). Từ đó ta có bảng biến thiên:

- Đồ thị hàm số:

- Nhận xét: Hàm số \(y=\left|x\right|\) là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

4. Hàm số bậc hai

- Hàm số bậc hai có dạng \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)

- Tập xác định: \(D=R\)

- Đồ thị của hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) là một parabol có đỉnh là điểm \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\), có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Parabol này có bề lõm quay lên trên nếu \(a>0\), quay xuống dưới nếu \(a< 0\).

Với \(a>0\):

Với \(a< 0\):

- Cách vẽ:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\)

Bước 2: Xác định trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\)

Bước 3: Xác định giao điểm của parabol với trục tung (điểm \(\left(0;c\right)\)) và với trục hoành (nếu có). Có thể xác định điểm đối xứng với điểm \(\left(0;c\right)\) qua trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\) để vẽ đồ thị chính xác hơn.

Bước 4: Vẽ parabol.

Ví dụ: Đồ thị hàm số \(y=3x^2-2x-1\):

 

@1871625@

- Chiều biến thiên:

     + Nếu \(a>0\) thì hàm số \(y=ax^2+bx+c\)  nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\) ;

     + Nếu \(a>0\) thì hàm số \(y=ax^2+bx+c\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\).

 

@1871708@