Bài 3: Nhân, chia số hữu tỉ

1. Nhân, chia số hữu tỉ

Ở các bài trước, ta đã biết: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\left(a,b\in Z;b\ne0\right)\). Do đó, để nhân, chia số hữu tỉ, ta có thể áp dụng các quy tắc nhân, chia phân số đã học ở lớp dưới.

Quy tắc: Muốn nhân (chia) hai số hữu tỉ \(x,y\), ta làm như sau:

• Viết hai số hữu tỉ \(x,y\) dưới dạng phân số: \(x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{c}{d}\). Với phép chia, ta cần có điều kiện \(y\ne0\).
• Nhân, chia hai phân số vừa viết:

\(x.y=\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a.c}{b.d};\)

\(x:y=\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{d}{c}=\dfrac{a.d}{b.c}\).

Ví dụ: 

+) \(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{-5}{3}\right)=\dfrac{1.\left(-5\right)}{2.3}=\dfrac{-5}{6}.\)

+) \(-0,2:\dfrac{4}{7}=\dfrac{-1}{5}:\dfrac{4}{7}=\dfrac{-1}{5}.\dfrac{7}{4}=\dfrac{\left(-1\right).7}{5.4}=\dfrac{-7}{20}.\)

+) \(2,5.\left(-3\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{-13}{4}\right)=\dfrac{5.\left(-13\right)}{2.4}=\dfrac{-65}{8}.\)

+) \(\left(-\dfrac{5}{3}\right):\left(-0,5\right)=\dfrac{-5}{3}:\dfrac{-1}{2}=\dfrac{-5}{3}.\dfrac{-2}{1}=\dfrac{\left(-5\right).\left(-2\right)}{3.1}=\dfrac{10}{3}.\)

Chú ý: Tương tự như phép chia phân số, phép chia số hữu tỉ chính là phép nhân với số nghịch đảo của nó. Mỗi số hữu tỉ \(a\) khác 0 đều có một số nghịch đảo là \(\dfrac{1}{a}\).

Tính chất: Phép nhân số hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của phép nhân phân số:

• Giao hoán: \(x.y=y.x;\forall x,y\in Q\)
• Kết hợp: \(\left(x.y\right).z=x.\left(y.z\right);\forall x,y,z\in Q\).
• Nhân với số 1: \(x.1=1.x;\forall x\in Q\).
• Phân phối giữa phép nhân với phép cộng: \(\left(x+y\right).z=x.z+y.z;\forall x,y,z\in Q\).

2. Áp dụng

Ta thường áp dụng các quy tắc và tính chất trên để tính toán các biểu thức chứa một dãy các phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ và các bài tập tính nhanh giá trị biểu thức, giải quyết các bài toán tìm \(x\).

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A=\dfrac{1}{6}.\dfrac{9}{-8}.\left(\dfrac{-12}{11}\right)\);

b) \(B=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{9}+\dfrac{6}{7}:\dfrac{4}{3}-1\dfrac{2}{5}:1\dfrac{1}{3}\).

Lời giải:

a) \(A=\dfrac{1}{6}.\dfrac{9}{-8}.\left(\dfrac{-12}{11}\right)=\dfrac{1.9.\left(-12\right)}{6.\left(-8\right).11}=\dfrac{1.9.6.\left(-2\right)}{6.\left(-2\right).4.11}=\dfrac{9}{44}\).

Vậy \(A=\dfrac{9}{44}.\)

b) \(B=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{9}+\dfrac{6}{7}:\dfrac{4}{3}-1\dfrac{2}{5}:1\dfrac{1}{3}\)

\(=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{9}+\dfrac{6}{7}.\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}:\dfrac{4}{3}\)

\(=\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{9}+\dfrac{6}{7}.\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}.\dfrac{3}{4}\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{5}{9}+\dfrac{6}{7}-\dfrac{7}{5}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{175}{315}+\dfrac{270}{315}-\dfrac{441}{315}\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{315}=\dfrac{3}{315}=\dfrac{1}{105}\).

Vậy \(B=\dfrac{1}{105}.\)

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính \(\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{45}:\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{15}\right)+1\dfrac{2}{3}\right]-\left(\dfrac{-5}{27}\right)\).

Lời giải: 

Ta có \(\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{45}:\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{15}\right)+1\dfrac{2}{3}\right]-\left(\dfrac{-5}{27}\right)\)

\(=\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{45}:\left(\dfrac{3}{15}-\dfrac{2}{15}\right)+\dfrac{5}{3}\right]+\dfrac{5}{27}\)

\(=\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{45}:\dfrac{1}{15}+\dfrac{5}{3}\right]+\dfrac{5}{27}\)

\(=\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{45}.15+\dfrac{5}{3}\right]+\dfrac{5}{27}\)

\(=\dfrac{2}{9}.\left[\dfrac{-4}{3}+\dfrac{5}{3}\right]+\dfrac{5}{27}\)

\(=\dfrac{2}{9}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{27}\)

\(=\dfrac{2}{27}+\dfrac{5}{27}=\dfrac{7}{27}.\)

Ví dụ 3: Tìm \(x\) biết:

a) \(x:\dfrac{4}{7}=\dfrac{-21}{12}\);

b) \(\left(\dfrac{6}{7}-\dfrac{3}{5}\right):\dfrac{2x}{3}=-\dfrac{11}{8}\);

c) \(\dfrac{2}{3}-x:\left(\dfrac{-4}{5}\right)=\dfrac{5}{9}\);

d) \(\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{9}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{-3}{7}:x\right)=0\).

Lời giải:

a) Ta có \(x:\dfrac{4}{7}=\dfrac{-21}{12}\)

\(x=\dfrac{-21}{12}.\dfrac{4}{7}\)

\(x=\dfrac{-21.4}{12.7}\)

\(x=\dfrac{-3.7.4}{3.4.7}\)

\(x=-1.\)

Vậy \(x=-1\) là giá trị cần tìm.

b) Ta có \(\left(\dfrac{6}{7}-\dfrac{3}{5}\right):\dfrac{2x}{3}=-\dfrac{11}{8}\)

\(\left(\dfrac{30}{35}-\dfrac{21}{35}\right):\dfrac{2x}{3}=-\dfrac{11}{8}\)

\(\dfrac{9}{35}:\dfrac{2x}{3}=-\dfrac{11}{8}\)

\(\dfrac{2x}{3}=\dfrac{9}{35}:\left(-\dfrac{11}{8}\right)\)

\(\dfrac{2x}{3}=\dfrac{9}{35}.\left(\dfrac{-8}{11}\right)\)

\(\dfrac{2x}{3}=\dfrac{-162}{385}\)

\(x=\dfrac{-162}{385}:\dfrac{2}{3}\)

\(x=\dfrac{-162}{385}.\dfrac{3}{2}\)

\(x=\dfrac{-243}{385}.\)

Vậy \(x=\dfrac{-243}{385}\) là giá trị cần tìm.

c) Ta có \(\dfrac{2}{3}-x:\left(\dfrac{-4}{5}\right)=\dfrac{5}{9}\)

\(x:\left(\dfrac{-4}{5}\right)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{9}\)

\(x:\left(\dfrac{-4}{5}\right)=\dfrac{6}{9}-\dfrac{5}{9}\)

\(x:\left(\dfrac{-4}{5}\right)=\dfrac{1}{9}\)

\(x=\dfrac{1}{9}.\left(\dfrac{-4}{5}\right)\)

\(x=\dfrac{1.\left(-4\right)}{9.5}\)

\(x=\dfrac{-4}{45}.\)

Vậy \(x=\dfrac{-4}{45}\) là giá trị cần tìm.

d) Ta có \(\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{9}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{-3}{7}:x\right)=0\)

Trường hợp 1: \(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{9}=0\)

\(\dfrac{2}{3}x=\dfrac{4}{9}\)

\(x=\dfrac{4}{9}:\dfrac{2}{3}\)

\(x=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{2}\)

\(x=\dfrac{2}{3}.\)

Trường hợp 2: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{-3}{7}:x=0\)

\(\dfrac{-3}{7}:x=\dfrac{-1}{2}\)

\(x=\dfrac{-3}{7}:\dfrac{-1}{2}\)

\(x=\dfrac{-3}{7}.\dfrac{-2}{1}\)

\(x=\dfrac{6}{7}.\)

Vậy các giá trị cần tìm là \(x=\dfrac{2}{3};x=\dfrac{6}{7}.\)