Các bài toán liên quan đến điện trở thay đổi (biến trở) thường hay gặp trong các dạng toán liên quan đến công suất.
Bài toán: Mạch xoay chiều RLC có điện trở R thay đổi. Tìm R để công suất tiêu thụ của mạch cực đại.
2. Phương pháp giải
Đây là một bài toán liên quan đến dạng toán cực trị trong mạch xoay chiều. Nguyên tắc chung để giải các bài toán này là ta biểu diễn giá trị theo đại lượng biến đổi rồi đánh giá.
Công suất của mạch: \(P=I^2R=\frac{U^2.R}{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}\)\(\Leftrightarrow P=\frac{U^2}{R+\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}}\)[1](chia cả tử số và mẫu số cho R)
Đánh giá:
P max khi và chỉ khi mẫu số [1] min.
Theo BĐT Cô si ta có: \(R+\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}\ge2\sqrt{R.\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}}=2\left|Z_L-Z_C\right|\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(R=\frac{\left(Z_L-Z_C\right)^2}{R}\)\(\Leftrightarrow \boxed{ R=\left|Z_L-Z_C\right|}\)
Hệ số công suất của mạch: \(\cos\varphi=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^2+R^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), lưu ý rằng rất nhiều bạn nhầm trong trường hợp này là \(\cos\varphi=1\)
Ta có: \(P=\frac{U^2.R}{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}\)\(\Leftrightarrow P.R^2-U^2R+P\left(Z_L-Z_C\right)^2=0\)[2]
Phương trình [2] là một phương trình bậc 2 có ẩn là \(R\), phương trình này có 2 nghiệm \(R_1,R_2\). Hay nói cách khác khi \(R=R_1\) hoặc \(R=R_2\) thì công suất của mạch như nhau. Theo định lý Vi-ét ta có:
\(\boxed{R_1+R_2=\frac{U^2}{P}}\)
\(\boxed{R_1.R_2=(Z_L-Z_C)^2}\)
Nếu cuộn dây không thuần cảm, cũng hoàn toàn chứng minh tương tự ta được các kết quả sau: