Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácCác kĩ năng cơ bản học sinh phải nắm được trong phần này bao gồm:
\(f'\left(x\right)\ge0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(D\)
\(f'\left(x\right)\le0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\)nghịch biến trên \(D\)
\(f'\left(x\right)>0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) tăng trên \(D\)
\(f'\left(x\right)< 0,\forall x\in D\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) giảm trên \(D\)
Để tìm các điểm cực trị của hàm số thì phương pháp phổ biến là theo các bước sau:
- Tính đạo hàm bậc một \(y'\)
- Tìm tập các nghiệm của \(y'\), giả sử các nghiệm là \(x_1,x_2,..,x_n\), khi đó cực trị nếu có sẽ là các điểm này.
- Lập bảng xét dấu \(y'\) dựa trên các mốc \(x_1,x_2,..,x_n\). Nếu \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_i\) thì hàm số có cực tiểu tại \(x_i\), nếu \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số có cực đại tại \(x_i\), còn nếu \(y'\) không đổi dấu khi qua \(x_i\) thì \(x_i\) không phải là điểm cực trị của hàm số (mà là điểm uốn của đồ thị hàm số).
Trong một số trường hợp, ta có thể tìm các điểm cực trị thông qua tìm các nghiệm \(x_1,x_2,..,x_n\) của \(y'\) rồi tính giá trị của \(y''\) tại các điểm này, nếu \(y''\left(x_i\right)>0\) thì \(x_i\) là điểm cực tiểu, nếu \(y''\left(x_i\right)< 0\) thì \(x_i\) là điểm cực đại. Tuy nhiên nếu \(y''\left(x_i\right)=0\) thì không kết luận \(x_i\) có là điểm cực trị hay không mà quay lại phương pháp lập bảng xét dấu của \(y'\).
Giá trị lớn nhất trên một khoảng khác với giá trị cực đại. Trong khi giá trị cực đại là giá trị của hàm số tại một điểm \(x_i\) mà lớn hơn giá trị hàm số tại các điểm lân cận \(x_i\), tức là giá trị cực đại là giá trị lớn nhất trên một khoảng đủ nhỏ, thì giá trị lớn nhất trên một khoảng thì nó là giá trị lớn nhất trên toàn khoảng (xem minh họa bên dưới). Tương tự như vậy, giá trị nhỏ nhất khác với giá trị cực tiểu.
Vì vậy muốn tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) trên đoạn [a,b] ta làm như sau:
- Tính đạo hàm bậc một \(y'\) và tìm nghiệm \(y'=0\), giả sử các nghiệm là \(x_1,x_2,...,x_n\)(các điểm cực đại và cực tiểu sẽ nằm trong tập các điểm này)
- Tính giá trị y của hàm số tại các điểm trên \(y\left(x_1\right),y\left(x_2\right),...,y\left(x_n\right)\) và hai điểm đầu mút \(y\left(a\right),y\left(b\right)\) và lấy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ tập các giá trị này.
- Nếu tồn tại một trong các giới hạn \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y\) = a, \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y\) = b thì các đường \(y=a\) và \(y=b\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị.
- Nếu sau khi biến đổi và rút gọn y mà hàm số \(y\) có dạng hàm hữu tỉ \(y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\), các đường tiệm cận ngang nếu có của \(y\) là các đường \(x=b\) với b là nghiệm của đa thức mẫu số \(g\left(x\right)\). Vậy để tìm tiệm cận ngang, ta cần tìm các nghiệm \(b_1,...,b_k\) của mẫu số \(g\left(x\right)\), rồi kiểm tra xem nếu chúng không là làm cho tử số \(f\left(b_i\right)\) bằng 0 thì \(x=b_i\) là tiệm cận đứng (vì \(\lim\limits_{x\rightarrow b_i}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\infty\)), nếu \(f\left(b_i\right)=0\) thì ta rút gọn y bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(x-b_i\) và tìm lại tập nghiệm của mẫu số.
Bảng biến thiên gồm 3 dòng x, y' và y (xem bảng biến thiên ở trên) cho ta biết hàm số đồng biến, nghịch biến trong những khoảng nào, nó cũng cho ta biết hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu tại các điểm nào.
Khi cho đồ thị hàm số ta có thể rút ra được các nhận xét sau:
- Ta sẽ biết được giá trị của \(y\) khi \(x\rightarrow\pm\infty\)
- Các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị (nếu có)
- Các khoảng đồng biến, nghịch biến
- Các giá trị cực đại, cực tiểu. Hoành độ điểm cực trị là dương, âm, v.v.
- Giao điểm của đồ thị với trục hoành (tức là nghiệm của hàm số)
- Giao điểm của đồ thị với trục tung (giá trị của hàm số tại x=0)
Từ bàng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y=f(x) ta có thể tìm hoặc biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=m.
- Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị ta tìm tập nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)
- Sau khi tìm được các nghiệm \(x_i\), ta thay \(x_i\) vào một trong hai hàm \(f\left(x\right)\) hoặc \(g\left(x\right)\) để tìm ra tung độ giao điểm (chú ý nên thay vào hàm nào đơn giản hơn vì khi thay vào hàm nào thì cũng cùng ra một số).