Bài 1: Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Nhắc lại về thứ tự trên tập số

Trên tập số thực, khi so sánh hai số \(a\) và \(b\), xảy ra một trong ba trường hợp:

     + Số \(a\) bằng số \(b\), kí hiệu là \(a=b\);

     + Số \(a\) lớn hơn số \(b\), kí hiệu là \(a>b\);

     + Số \(a\) nhỏ hơn số , kí hiệu là \(a< b\).

Ví dụ: +) \(1,53< 1,81\) ; 

          +) \(\dfrac{12}{-18}=\dfrac{-2}{3}\) ;

          +) \(-1,02>-2,13\) ; ...

Khi biểu diễn số thực trên trục số (theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm ở bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.

Nếu số \(a\) không lớn hơn số \(b\) thì phải có \(a=b\) hoặc \(a< b\), ta nói số \(a\) nhỏ hơn hoặc bằng số \(b\) và được kí hiệu là \(a\le b\)

Ví dụ: \(x^2\ge0\) với mọi \(x\) ;

          Nếu số thực c không lớn hơn 2 ta viết: \(c\le2\)

Nếu số \(a\) không nhỏ hơn số \(b\) thì phải có \(a=b\) hoặc \(a>b\) , ta nói số \(a\) lớn hơn hoặc bằng số \(b\) và được kí hiệu là \(a\ge b\).

Ví dụ: Nếu số thực y không nhỏ hơn 3 ta viết: \(y\ge3\).

2. Bất đẳng thức

Ta gọi các hệ thức có dạng \(a< b\) (hoặc \(a>b\) , \(a\le b\)\(a\ge b\) ) là các bất đẳng thức, trong đó \(a\) là vế trái còn \(b\) là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ: 

+) \(7+\left(-3\right)>5\) là một bất đẳng thức, trong đó \(7+\left(-3\right)\) là vế trái, \(5\) là vế phải của bất đẳng thức.

+) \(\left(-2\right)+5>\left(-4\right)+5\) là một bất đẳng thức trong đó \(\left(-2\right)+5\) là vế trái, \(\left(-4\right)+5\) là vế phải của bất đẳng thức.

+) \(x^2+1\ge1\) là một bất đẳng thức, trong đó \(x^2+1\) là vế trái, 1 là vế phải của bất đẳng thức.

\(y^2-4y\ge2y-9\) là một bất đẳng thức trong đó \(y^2-4y\) là vế trái, \(2y-9\) là vế phải của bất đẳng thức.

 

@61098@

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Tính chất:

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với 3 số \(a,b,c\) ta có:

Nếu \(a>b\) thì \(a+c>b+c\)    ;      Nếu \(a\ge b\) thì \(a+c\ge b+c\) ;

Nếu \(a< b\) thì \(a+c< b+c\)    ;      Nếu \(a\le b\) thì \(a+c\le b+c\).

Ta có thể sử dụng tính chất trên để so sánh hai số hoặc chứng minh bất đẳng thức.

Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.

Ví dụ 1 :

+) Do \(11< 13\)  nên \(11+\sqrt{2}< 13+\sqrt{2}\).

+) Do \(-\dfrac{2}{3}>\dfrac{-7}{4}\) nên \(7+\left(-\dfrac{2}{3}\right)>7+\left(-\dfrac{7}{4}\right)\) 

+) Do \(\left(y-1\right)^2\ge0\) với mọi \(y\) nên \(\left(y-1\right)^2-5\ge-5\) với mọi \(y\)

Ví dụ 2: Cho 2 số thực \(x,y\) biết \(x\ge y\). Hãy so sánh \(x-0,5\) và \(y-0,5\)?

Bài làm:

Ta có \(x\ge y\) \(\Rightarrow x+\left(-0,5\right)\ge y+\left(-0,5\right)\) hay \(x-0,5\ge y-0,5\).

Ví dụ 3: Cho \(a+\dfrac{3}{5}\le b+\dfrac{3}{5}\). Hãy so sánh \(a\) và \(b\)?

Bài làm:

Ta có: \(a+\dfrac{3}{5}\le b+\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow a+\dfrac{3}{5}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\le b+\dfrac{3}{5}+\left(-\dfrac{3}{5}\right)\)

\(\Rightarrow a\le b\)

Vậy \(a\le b\).

Ví dụ 4: Cho biết \(m-n=-2\). Hãy so sánh \(m\) và \(n\)?

Bài làm:

Ta có: \(m-n=-2\) mà \(-2< 0\)

\(\Rightarrow m-n< 0\)

\(\Rightarrow m-n+n< 0+n\)

\(\Rightarrow m< n\)

Vậy \(m< n\).

Ví dụ 5: Cho \(x-1=y-2=z-3\). Hãy so sánh \(x,y,z\)?

Bài làm:

Ta có: \(x-1=y-2\) \(\Rightarrow x-y=-2+1\Rightarrow x-y=-1\Rightarrow x-y< 0\Rightarrow x< y\)

Ta có: \(y-2=z-3\Rightarrow y-z=-3+2\Rightarrow y-z=-1\Rightarrow y-z< 0\Rightarrow y< z\)

Do \(x< y\) và \(y< z\) nên ta có thể viết gọn thành \(x< y< z\).

Ví dụ 6: Cho 2 số thực \(x,y\) bất kì. Hãy so sánh \(x^2+y^2\) và \(2xy\)?

Bài làm:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+2xy\ge0+2xy\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2-2xy\ge2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

Vậy với 2 số thực \(x,y\) bất kì thì \(x^2+y^2\ge2xy\).

 

@61100@@61101@