Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácVí dụ:
\(\sqrt{64}.\sqrt{25}=8.5=40;\sqrt{64.25}=\sqrt{1600}=40\) \(\Rightarrow\sqrt{64}.\sqrt{25}=\sqrt{64.25}\);
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{9}=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2};\sqrt{\dfrac{1}{4}.9}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{1}{4}}.\sqrt{9}=\sqrt{\dfrac{1}{4}.9}\)
Ta có định lí:
Với hai số \(a\) và \(b\) không âm, ta có:
\(\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
Ta có thể chứng minh định lí như sau:
Do \(a\ge0;b\ge0\) nên \(\sqrt{a}.\sqrt{b}\) xác định và không âm.
Ta có: \(\left(\sqrt{a}.\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2.\left(\sqrt{b}\right)^2=a.b\)
Vậy \(\sqrt{a}.\sqrt{b}\) là một căn bậc hai số học của \(a.b\), tức là \(\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}\).
Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng với tích của nhiều số không âm.
Với \(a_1;a_2;...a_n\ge0\) ta có: \(\sqrt{a_1.a_2...a_n}=\sqrt{a_1}.\sqrt{a_2}...\sqrt{a_n}\)
Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
Ví dụ: \(\sqrt{81.1,44.25}=\sqrt{81}.\sqrt{1,44}.\sqrt{25}=9.1,2.5=54\);
\(\sqrt{50.162}=\sqrt{2.25.2.81}=\sqrt{25.4.81}=\sqrt{25}.\sqrt{4}.\sqrt{81}=5.2.9=90\).
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả.
Ví dụ: \(\sqrt{5}.\sqrt{80}=\sqrt{5.80}=\sqrt{400}=20\);
\(\sqrt{\dfrac{1}{2}}.\sqrt{6}.\sqrt{27}=\sqrt{\dfrac{1}{2}.6.27}=\sqrt{81}=9\)
Một cách tổng quát:
Với hai biểu thức \(A\) và \(B\) không âm, ta có:
\(\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{A.B}\)
Với biểu thức \(A\) không âm, ta có:
\(\left(\sqrt{A}\right)^2=\sqrt{A^2}=A\)
Ví dụ 1: \(\sqrt{5a}.\sqrt{20a}=\sqrt{5a.20a}=\sqrt{100a^2}=\sqrt{100}.\sqrt{a^2}=10\left|a\right|\);
\(\sqrt{3a.12ab^4}=\sqrt{36a^2b^4}=\sqrt{36}.\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}=6\left|a\right|b^2\)
Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(\sqrt{4\left(2x-1\right)^2}-3=0\)
Ta có: \(\sqrt{4\left(2x-1\right)^2}-3=0\Leftrightarrow\sqrt{4}.\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\)
\(\Leftrightarrow2\left|2x-1\right|=3\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=\dfrac{3}{2}\\2x-1=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{4}\\x=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\).
Lưu ý: Với \(a\ge0\) và \(b\ge0\) ta có: \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Ví dụ: \(\sqrt{9+25}=\sqrt{36}=6;\sqrt{9}+\sqrt{25}=3+5=8\)
\(\Rightarrow\sqrt{9}+\sqrt{25}>\sqrt{9+25}\).