Bài 2: Hình hộp chữ nhật (Tiếp)

1. Hai đường thẳng song song trong không gian

- Trong không gian, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Ví dụ: Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\):

       +) \(AA'\) và \(BB'\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left(ABB'A'\right)\) và không có điểm chung

           Ta nói 2 đường thẳng \(AA'\) và \(BB'\) song song.

       +) \(A'D'\) và \(B'C'\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left(A'B'C'D'\right)\) và không có điểm chung

            Ta nói 2 đường thẳng \(A'D'\) và \(B'C'\) song song.

       +) \(AC\) và \(A'C'\) cùng thuộc mặt phẳng \(\left(ACC'A'\right)\) và không có điểm chung

           Ta nói 2 đường thẳng \(AC\) và \(A'C'\) song song.

 Tương tự như vậy, ta có thể kể thêm một số cặp đường thẳng song song như: \(AA'\) và \(CC'\), \(BB'\) và \(DD'\) , \(BD\) và \(B'D'\) , \(AB\) và \(CD\) , ...

- Với hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) trong không gian, chúng có thể:

    + Cắt nhau: Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và có 1 điểm chung.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, \(a\) và \(b\) cắt nhau.

   Tương tự, ta có thể kể thêm một số cặp đường thẳng cắt nhau như: \(AD\) và \(AA'\), \(CD\) và \(DD'\) , \(BB'\) và \(A'B'\) , ....

      +) Song song: Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, \(a\) và \(b\) song song:

     +) Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, \(a\) và \(b\) không cùng nằm trong một mặt phẳng:

  Tương tự, ta có thể kể thêm một số cặp đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng nào như: \(AD\) và \(C'D'\) , \(CD\) và \(B'C'\) , \(DD'\) và \(A'B'\) , ....

- Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Ví dụ: \(AA'\) song song với \(CC'\) (do cùng song song với \(DD'\))

          \(AD\) song song với \(B'C'\) (do cùng song song với \(BC\) )

          \(AB\) song song với \(C'D'\) (do cùng song song với \(CD\))

Ví dụ 1: Cho hình lập phương \(ABCD.MNPQ\). Các cạnh nào của hình lập phương song song với \(CD\)?

Giải:

Xét trong \(mp\left(ABCD\right)\) có: \(CD\) // \(AB\)

Xét trong \(mp\left(CDQP\right)\) có: \(CD\) // \(PQ\)

Xét trong \(mp\left(MNPQ\right)\) có: \(PQ\) // \(MN\)

Do \(CD\) // \(PQ\) và \(PQ\) // \(MN\) nên \(CD\)//\(MN\)

Do đó: Các đường thẳng song song với \(CD\) là: \(AB\), \(PQ\), \(MN\).

Ví dụ 2: Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), đường chéo \(AC\) và \(A'C'\), có bao nhiêu đường thẳng cắt đường thẳng \(AA'\)?

Giải:

Ta có trong hình hộp chữ nhật trên \(AA'\in mp\left(ABB'A'\right)\) , \(AA'\in mp\left(ADD'A'\right)\) và \(AA'\in mp\left(ACC'A'\right)\)

Xét trong \(mp\left(ABB'A'\right)\) có các đường thẳng cắt \(AA'\) là: \(AB\) và \(A'B'\)

Xét trong \(mp\left(ADD'A'\right)\) có các đường thẳng cắt \(AA'\) là: \(AD\) và \(A'D'\)

Xét trong \(mp\left(ACC'A'\right)\) có các đường thẳng cắt \(AA'\) là: \(AC\) và \(A'C'\)

Vậy trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) trên có 6 đường thẳng cắt \(AA'\) là: \(AB\), \(A'B'\), \(AD\), \(A'D'\), \(AC\), \(A'C'\).

2. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai đường thẳng song song

- Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng mà song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó thì ta nói đường thẳng đã cho song song với mặt phẳng đó.

Ví dụ: \(AB\) không nằm trong mặt phẳng \(\left(A'B'C'D'\right)\) mà \(AB\)//\(A'B'\) thì \(AB\)//\(mp\left(A'B'C'D'\right)\)

   Tương tự : \(A'D'\)//\(mp\left(BCC'B'\right)\) ; \(AA'\)//\(mp\left(CDD'C'\right)\) ; \(A'C'\)//\(mp\left(ABCD\right)\) ; ....

- Hai mặt phẳng song song với nhau nếu có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng kia.

Ví dụ: \(mp\left(ABCD\right)\) có \(AB\) cắt \(AD\)

          \(mp\left(A'B'C'D'\right)\) có \(A'B'\) cắt \(A'D'\) 

       mà \(AB\)//\(A'B'\) , \(AD\)//\(A'D'\) 

       Ta nói: Mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\) song song với mặt phẳng \(\left(A'B'C'D'\right)\)

       Kí hiệu: \(mp\left(ABCD\right)\) // \(mp\left(A'B'C'D'\right)\).

Tương tự ta cũng có: \(mp\left(ABB'A'\right)\) // \(mp\left(CDD'C'\right)\) , \(mp\left(BCC'B'\right)\) // \(mp\left(ADD'A'\right)\) 

Từ đó ta thấy rằng: Trong một hình hộp chữ nhật có 3 cặp mặt phẳng song song với nhau.

- Nhận xét:

   + Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

   + Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.

   + Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm đó. Ta nói hai mặt phẳng này cắt nhau.

Ví dụ: Trong hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\):

          \(mp\left(ABB'A'\right)\) và \(mp\left(ADD'A'\right)\) cắt nhau (chúng có chung một đường thẳng \(AA'\));

          \(mp\left(ABCD\right)\) và \(mp\left(CDD'C'\right)\) cắt nhau (chúng có chung một đường thẳng \(CD\)); ...