Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Chủ đề
Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácI. Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng:
Hệ phương trình đối xứng là hệ mà khi thay x bởi y vày bởi x thì hệ không thay đổi.
II. Phương pháp giải:
- Đặt \(\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}\) (điều kiện \(S^2\ge4P\))
- Đưa hệ về ẩn S và P, tìm S và P
- x và y là nghiệm của phương trình: \(x^2-Sx+P=0\)
III. Các ví dụ:
1) Ví dụ 1: Giải hệ \(\begin{cases}x+y=1-2xy\\x^2+y^2=1\end{cases}\)
Đây là hệ đối xứng đối với x và y.
Đặt \(x+y=S\), \(xy=P\), (điều kiện \(S^2\ge4P\)), ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=S^2-2P\)
Hệ đã cho trở thành: \(\begin{cases}S=1-2P\\S^2-2P=1\end{cases}\)
Thế S từ phương trình trên vào phương trình dưới ta được phương trình chỉ có nghiệm P:
\(\left(1-2P\right)^2-2P=1\), hay là: \(4p^2-6P=0\), suy ra P = 0 hoặc P = 3/2
+) Với P = 0, suy ra S = 1 - 2P = 1, vậy x + y = 1, xy =0, hệ có nghiệm: \(\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\)
+) Với P = 3/2, suy ra S = 1 - 2P = -2, không thỏa mã điệu kiện \(S^2\ge4P\)
Kết luận: Nghiệm của hệ là (1,0) và (0,1).
2) Ví dụ 2: Giải hệ: \(\begin{cases}x^2+y^2-x+y=2\\xy+x-y=-1\end{cases}\)
Nếu đặt u = -x thì hệ sẽ đối xứng đối với y và u: \(\begin{cases}u^2+y^2+u+y=2\\-uy-\left(u+y\right)=-1\end{cases}\)
Đặt S = u + y và P = uy, đưa về hệ: \(\begin{cases}S^2-2P+S=2\\-P-S=-1\end{cases}\)
Rút P từ phương trình dưới, thay vào phương trình đầu để tìm S. Sau đó tìm được P , sau đó tìm y, u và cuối cùng lấy x = -u.
Các nghiệm là: \(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) ; \(\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}\)
IV. Tài liệu tham khảo
Phương trình lượng giác đối xứng đối với sin và cos
phương pháp giải hệ phương trình