Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Muốn giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta tìm cách biến đổi hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới tương đương, trong đó một phương trình của nó chỉ có một ẩn.

Một trong các cách giải là áp dụng quy tắc thế:

1. Quy tắc thế

- Dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.

- Các bước giải:

+) Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ có một ẩn.

+) Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được từ bước 1).

Ví dụ 1: Xét hệ phương trình \(\left(I\right):\left\{{}\begin{matrix}x-3y=2\\-2x+5y=1\end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Từ phương trình đầu, ta có: \(x-3y=2\Leftrightarrow x=3y+2\)    (*)

Lấy kết quả này thế vào \(x\) trong phương trình thứ hai, ta được:

\(-2\left(3y+2\right)+5y=1\)

+ Bước 2: Dùng phương trình trên thay thế cho phương trình thứ hai và dùng (*) thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3y+2\\-2\left(3y+2\right)+5y=1\end{matrix}\right.\)

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình \(\left(II\right):\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\x+2y=4\end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Từ phương trình đầu, ta có: \(2x-y=3\Leftrightarrow y=2x-3\)   (**)

Lấy kết quả này thế vào \(y\) trong phương trình thứ hai, ta được:

\(x+2\left(2x-3\right)=4\)

+ Bước 2: Dùng phương trình trên thay thế cho phương trình thứ hai và dùng (**) thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình: 

\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\x+2\left(2x-3\right)=4\end{matrix}\right.\)

- Chú ý: Ta có thể xuất phát từ phương trình trên hoặc phương trình dưới để biểu diễn \(x\) theo \(y\) hoặc biễu diễn \(y\) theo \(x\) đều được.

2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

+) Bước 1: Dùng phương pháp thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

+) Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ.

- Ta xét các ví dụ phía trên:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình \(\left(I\right):\left\{{}\begin{matrix}x-3y=2\\-2x+5y=1\end{matrix}\right.\)

Sử dụng phương pháp thế, ta thu được: \(\left(I\right)\Leftrightarrow\text{​​}\text{​​}\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=3y+2\\-2\left(3y+2\right)+5y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y+2\\-6y+5y=1+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3y+2\\y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-13\\y=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ \(\left(I\right)\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(-13;-5\right)\).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \(\left(II\right):\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\x+2y=4\end{matrix}\right.\)

Sử dụng phương pháp thế, ta thu được: \(\left(II\right)\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\x+2\left(2x-3\right)=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\x+4x=4+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\5x=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-3\\x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ \(\left(II\right)\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\).

- Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình \(\left(III\right):\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=-6\\-2x+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\left(III\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x+3\\4x-2\left(2x+3\right)=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x+3\\0x=0\end{matrix}\right.\)

Ta thấy phương trình \(0x=0\) đúng với mọi \(x\in R\). Vậy phương trình \(\left(III\right)\) có vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình \(y=2x+3\). 

Do đó, hệ \(\left(III\right)\) có các nghiệm \(\left(x;y\right)\) được biểu diễn bởi \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2x+3\end{matrix}\right.\).