Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Đường thẳng song song

Xét hai đường thẳng \(\left(d_1\right):y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(\left(d_2\right):y=a'x+b'\left(â'\ne0\right)\)

Ở bài trước ta đã biết: 

+) Đường thẳng \(y=ax+b\) song song với đường thẳng \(y=ax\).

+) Đường thẳng \(y=a'x+b'\) song song với đường thẳng \(y=a'x\).

Mà cả hai đường thẳng \(y=ax,y=a'x\) đều đi qua gốc tọa độ

\(\Rightarrow\) Khi hai đường thẳng \(y=ax,y=a'x\) trùng nhau, tức là \(a=a'\), thì hai đường thẳng \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) song song hoặc trùng nhau.

Cụ thể, ta có kết luận:

Hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\)

  • Song song với nhau \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=a'\\b\ne b'\end{matrix}\right.\).
  • Trùng nhau \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=a'\\b=b'\end{matrix}\right.\).

Ví dụ 1: Hai đường thẳng \(y=2x+1\) và \(y=2x-5\) là hai đường thẳng song song với nhau.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng \(y=\left(a-2\right)x+2\) và đường thẳng \(y=-x+3\). Do \(2\ne3\) nên để hai đường thẳng trên song song thì \(a-2=-1\Leftrightarrow a=1\).

@56563@@56567@@56573@

2. Đường thẳng cắt nhau

Ta đã biết: Khi \(a=a'\) thì hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\) hoặc song song hoặc trùng nhau và ngược lại. Như vậy, khi \(a\ne a'\) thì hai đường thẳng trên cắt nhau và ngược lại.

Ta có kết luận: 

Hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(a\ne a'\).

Ví dụ 1: Hai đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{2}x+5\) và \(y=x-2\) là hai đường thẳng cắt nhau vì \(-\dfrac{1}{2}\ne1\).

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng \(y=\left(2m-1\right)x-2\) và \(y=-x+3\). Hai đường thẳng trên cắt nhau \(\Leftrightarrow2m-1\ne-1\Leftrightarrow2m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\).

@56576@@56896@@315494@

Chú ý: Khi \(a\ne a',b=b'\) thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc. Khi đó, chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ \(b\).

3. Bài tập áp dụng

Bài tập: Cho hai hàm số bậc nhất \(y=\left(2m+1\right)x-2m\) và \(y=\left(m-3\right)x+4\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị của hai hàm số trên:

a) Cắt nhau.

b) Song song với nhau.

c) Trùng nhau.

d) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Lời giải:

Để hai hàm số trên là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1\ne0\\m-3\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-\dfrac{1}{2}\\m\ne3\end{matrix}\right.\) (*).

a) Hai đồ thị hàm số cắt nhau \(\Leftrightarrow2m+1\ne m-3\)

\(\Leftrightarrow2m-m\ne-3-1\Leftrightarrow m\ne-4\).

Vậy giá trị của \(m\) để đồ thị của hai hàm số cắt nhau là \(m\ne-4;m\ne-\dfrac{1}{2};m\ne3\).

b) Hai đồ thị hàm số song song với nhau \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1=m-3\\-2m\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\m\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\).

Kết hợp điều kiện (*) ta được giá trị cần tìm của \(m\) để hai đồ thị song song nhau là \(m=-4\).

c) Hai đồ thị hàm số trùng nhau \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1=m-3\\-2m=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\m=-2\end{matrix}\right.\) (vô lí).

Vậy không có \(m\) để hai đồ thị trùng nhau.

d) Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1\ne m-3\\-2m=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-4\\m=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\).

Kết hợp điều kiện (*) ta được giá trị của \(m\) để hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung là \(m=-2\).

@315553@@56895@@315871@