Bài 4: Diện tích hình thang

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Công thức tính diện tích hình thang

Xét bài toán: Tính diện tích hình thang \(ABCD\) (\(AB\)//\(CD\)).

Kẻ \(AH\perp CD\). Dễ thấy \(AH\) là đường cao của các tam giác \(ABC,ADC\).

Do hình thang \(ABCD\) được chia thành hai tam giác \(ABC\) và \(ADC\) nên ta có:

\(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AH.AB+\dfrac{1}{2}AH.CD=\dfrac{1}{2}AH\left(AB+CD\right).\)

Như vậy, diện tích hình thang \(ABCD\) phụ thuộc vào hai đáy và chiều cao của nó.

Định lí: Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao.

\(S=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right).h\)

Ví dụ: Cho hình thang \(ABCD\) có \(AB\)//\(CD\). Biết \(AB=3cm;CD=7cm\) và diện tích hình thang là \(40cm^2\). Tính chiều cao hình thang?

Lời giải:

Gọi chiều cao của hình thang là \(h\), ta có:

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right).h\Rightarrow h=\dfrac{2S_{ABCD}}{AB+CD}=\dfrac{2.40}{3+7}=8\left(cm\right)\).

Vậy chiều cao của hình thang \(ABCD\) đã cho là \(8cm\).

@637198@

2. Công thức tính diện tích hình bình hành

Ta đã biết, hình bình hành cũng là một hình thang có hai đáy bằng nhau. Do đó, công thức tính diện tích hình bình hành có thể suy ra trực tiếp từ công thức tính diện tích hình thang.

Định lí: Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

\(S=a.h\)

Thật vậy: Do hình bình hành trên là hình thang có hai đáy đều bằng \(a\), chiều cao bằng \(h\). Theo công thức tính diện tích hình thang, ta có: \(S=\dfrac{1}{2}\left(a+a\right).h=\dfrac{1}{2}.2a.h=a.h\) (điều phải chứng minh).

Ví dụ: Tính diện tích hình bình hành có độ dài một cạnh là \(5cm\) và chiều cao ứng với cạnh đó là \(3cm\).

Lời giải:

Diện tích hình bình hành đó là: \(S=5.3=15\left(cm^2\right)\).

@636880@

3. Ví dụ

Cho hình chữ nhật có hai kích thước \(a,b\).

a) Vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và diện tích bằng diện tích hình chữ nhật đã cho.

b) Vẽ một hình bình hành có một cạnh bằng một cạnh của hình chữ nhật và diện tích bằng nửa diện tích hình chữ nhật đã cho.

Lời giải:

a) Giả sử tam giác cần dựng có cạnh \(a\). Để tam giác có diện tích là \(a.b\) thì chiều cao tương ứng với cạnh đó phải là \(2b\). Tương tự, nếu tam giác đó có cạnh \(b\) thì chiều cao ứng với nó phải là \(2a\). Ta có thể biểu diễn các tam giác ấy như hình vẽ sau:

b) Giả sử hình bình hành cần dựng có cạnh \(a\). Để diện tích của nó là \(\dfrac{1}{2}ab\) thì chiều cao ứng với cạnh đó phải bằng \(\dfrac{1}{2}b\). Tương tự, nếu hình bình hành có cạnh \(b\) thì chiều cao ứng với nó phải bằng \(\dfrac{1}{2}a\). Ta có thể biểu diễn các hình bình hành cần dựng như sau: