Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Định nghĩa

Xét các ví dụ sau đây:

a) Cho hình chữ nhật có hai kích thước \(x\left(cm\right)\) và \(y\left(cm\right)\) thay đổi nhưng luôn có diện tích \(20cm^2\). Khi đó ta có công thức tính \(y\) theo \(x\) là:

\(y=\dfrac{20}{x}\) (hay \(xy=20\))

b) Lượng gạo \(y\left(kg\right)\) trong mỗi bao khi chia \(500kg\) vào \(x\left(bao\right)\) được tính theo công thức 

\(y=\dfrac{500}{x}\) (hay \(xy=500\))

c) Trên quãng đường dài \(30km\) thì vận tốc \(v\)(km/h) có thể tính theo thời gian \(t\)(giờ) theo công thức

\(v=\dfrac{30}{t}\) (hay \(vt=30\))

Trong các công thức trên, ta dễ thấy: Đại lượng này bằng một hằng số chia cho đại lượng kia. Khi đó ta nói: đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

• Hai cạnh của một hình chữ nhật có diện tích không đổi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
• Lượng gạo trong mỗi bao gạo tỉ lệ nghịch với số bao.
• Vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau trên một quãng đường không đổi.

Định nghĩa: Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y=\dfrac{a}{x}\) hay \(xy=a\) (\(a\) là một hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).

Ví dụ 1: Cho \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi \(x=3\) thì \(y=-12\). Hãy tìm hệ số tỉ lệ của \(x\) và \(y\)?

Lời giải

Gọi \(a\) là hệ số tỉ lệ của \(x\) và \(y\). Do \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(x=\dfrac{a}{y}\) hay \(xy=a\).

Thay \(x=3;y=-12\) ta được \(a=3.\left(-12\right)=-36\).

Ví dụ 2: Cho \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\). Hỏi \(x\) có tỉ lệ nghịch với \(y\) không và nếu có thì theo hệ số tỉ lệ nào?

Lời giải

Do \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) nên ta có \(y=\dfrac{a}{x}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{a}{y}\).

Như vậy \(x\) cũng tỉ lệ nghịch với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).

Chú ý: Khi \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) thì \(x\) cũng tỉ lệ nghịch với \(y\) và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

2. Tính chất

Cho \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\). Khi đó ta có \(y=\dfrac{a}{x}\).

Gọi \(x_1,x_2,x_3,...\) là các giá trị khác \(0\) của \(x\) và \(y_1,y_2,y_3,...\) là các giá trị tương ứng của \(y\).

Ta có: \(y_1=\dfrac{a}{x_1};y_2=\dfrac{a}{x_2};y_3=\dfrac{a}{x_3};...\)

\(\Rightarrow x_1y_1=x_2y_2=x_3y_3=...=a\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1};\dfrac{x_1}{x_3}=\dfrac{y_3}{y_1};...\)

Như vậy, ta có tính chất sau:

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Ví dụ 3: Cho \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\). Biết \(x_1,x_2\) là hai giá trị của \(x\) và \(y_1,y_2\) là các giá trị tương ứng của \(y\). Hỏi khi \(x_2=3;y_1=5;y_2=-4\) thì giá trị của \(x_1\) là bao nhiêu?

Lời giải

Do \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau

\(\Rightarrow x_1y_1=x_2y_2\Rightarrow x_1=\dfrac{x_2y_2}{y_1}=\dfrac{3.\left(-4\right)}{5}=\dfrac{-12}{5}=-2,4\).