§1. Đại cương về phương trình

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\)  (1)

trong đó \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là những biểu thức của \(x\). Ta gọi \(f\left(x\right)\) là vế trái\(g\left(x\right)\) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực \(x_0\) sao cho \(f\left(x_0\right)=g\left(x_0\right)\) là mệnh đề đúng thì \(x_0\) được gọi là nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

Chú ý: Có trường hợp, khi giải phương trình ta không viết được chính xác nghiệm của chúng dưới dạng số thập phân mà chỉ viết gần đúng.

Chẳng hạn: \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) là nghiệm của phương trình \(2x=\sqrt{3}\). Giá trị \(0,866\left(\approx\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) là một nghiệm gần đúng của phương trình.

2. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số \(x\) để \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) đều có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{x+1}{x-2}=\sqrt{x-1}\) \(\left(\alpha\right)\).

Giải:

Vế trái \(\left(\alpha\right)\) là \(\dfrac{x+1}{x-2}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow x-2\ne0\Leftrightarrow x\ne2\)

Vế phải \(\left(\alpha\right)\) là \(\sqrt{x-1}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow x-1\ge0\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\left(\alpha\right)\) là \(x\ge1;x\ne2\)

Chú ý: Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của \(x\) thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

@70739@

3. Phương trình nhiều ẩn

Ví dụ: +) \(3x+2y=x^2-2xy+8\)   (2)   ;  

          +) \(4x^2-xy+2z=3z^2+2xz+y^2\)   (3)   ;

          +) \(\dfrac{x-1}{y-2}+\dfrac{y-1}{z-2}+\dfrac{z-1}{x-2}=1\)    (4)  ; ...

Các ví dụ trên là các ví dụ về phương trình nhiều ẩn.

Phương trình (2) là phương trình có hai ẩn (\(x\) và \(y\)), phương trình (3) và (4) là phương trình có ba ẩn (\(x\)\(y\) và \(z\)).

Ta thấy khi \(x=2;y=1\) thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;1;2\right)\) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có những chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

Ví dụ: +) \(\left(m+1\right)x-3=0\) là phương trình một ẩn \(x\) và có tham số \(m\) ;

          +) \(x^2-2xy+\left(2a-1\right)=y^2\) là một phương trình hai ẩn \(x\)\(y\) và có tham số \(a\) ;...

Giải và biện luận phương trình chứa tham nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ví dụ:

    +) Hai phương trình \(2x-5=0\) và \(3x-\dfrac{15}{2}=0\) tương đương với nhau vì chúng cùng có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{5}{2}\).

    +) Hai phương trình \(x^2-1=0\) và \(\left|x\right|=1\) tương đương với nhau vì cùng có tập nghiệm là \(S=\left\{\pm1\right\}\).

    +) Hai phương trình \(2x-1=0\) và \(2x^2+x-1=0\) không tương đương với nhau vì phương trình \(2x-1=0\) có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{1}{2}\) còn phương trình \(2x^2+x-1=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x=\dfrac{1}{2}\) và \(x=-1\).

2. Phép biến đổi tương đương

Định lí:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

    a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một cùng biểu thức ;

    b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

Ta dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương của các phương trình.

Ví dụ: 

   +) \(x^2-5=0\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)=0\)

   +) \(x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}+3\)  (ĐK: \(x\ne1\)\(\Leftrightarrow x=3\)

Ví dụ 1: Giải phương trình \(x^2-2x+3=x+7\).

Giải:

Điều kiện: Phương trình xác định với mọi giá trị của \(x\) 

Ta có: \(x^2-2x+3=x+7\) 

     \(\Leftrightarrow x^2-2x+3-x-7=0\)  (thực hiện chuyển vế các hạng tử ở vế phải)

     \(\Leftrightarrow x^2-3x-4=0\)

     \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-4\right)=0\)

     \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=4\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-1;4\right\}\)

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để hai phương trình \(3x+m=-1\) và \(5x+15=0\) tương đương với nhau?

Giải:

Ta có: \(5x+15=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Phương trình \(5x+15=0\) có nghiệm duy nhất \(x=-3\)

Mặt khác: \(3x+m=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1-m}{3}\)

Để phương trình \(3x+m=-1\) cũng có nghiệm duy nhất \(x=-3\)

Thì \(-3=\dfrac{-1-m}{3}\Leftrightarrow-1-m=-9\Leftrightarrow m=8\)

Vậy giá trị của tham số \(m\) để hai phương trình đã cho tương đương là \(m=8\).

@1873052@

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) đều là nghiệm của phương trình \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\) thì phương trình \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\). Ta viết:

            \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) \(\Rightarrow\) \(f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)\)

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\dfrac{x+3}{x\left(x-1\right)}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{2-x}{x-1}\)   

Giải:

Điều kiện: \(x\ne0\) và \(x\ne1\)

Nhân hai vế của phương trình với \(x\left(x-1\right)\) ta đưa tới phương trình hệ quả:

      \(\dfrac{x+3}{x\left(x-1\right)}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{2-x}{x-1}\)  \(\Rightarrow\) \(x+3+3\left(x-1\right)=x\left(2-x\right)\)

                                              \(\Rightarrow\) \(x^2+2x=0\) 

                                              \(\Rightarrow\) \(x\left(x+2\right)=0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x=0\) và \(x=-2\)

Ta thấy \(x=0\) không thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho, đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn nghiệm \(x=-2\) thỏa mãn điều kiện và là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=-2\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\dfrac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\).

Giải:

Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\\sqrt{x-2}\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x-2>0\Leftrightarrow x>2\)

Với điều kiện trên, nhân cả hai vế của phương trình với biểu thức \(\sqrt{x-2}\) ta được:

  \(\dfrac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\) \(\Rightarrow x^2-4x-2=x-2\)

                                        \(\Rightarrow x^2-5x=0\)

                                        \(\Rightarrow x\left(x-5\right)=0\)

                                        \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=5\end{matrix}\right.\)

Ta thấy nghiệm \(x=0\) không thỏa mãn điều kiện \(x>2\) nên ta loại, còn nghiệm \(x=5\) thỏa mãn điều kiện \(x>2\) và là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x=5\).

@70754@