Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

1. Quy tắc

Trong bài trước, ta đã học quy tắc chia đơn thức cho đơn thức. Sau đây, ta tiếp tục đến với quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

Xét ví dụ sau: Thực hiện phép tính \(\left(5x^3y^2-10x^2y+3xy^3\right):2xy\).

Để thực hiện phép tính trên, ta thực hiện theo 2 bước:

+) Lấy từng đơn thức trong đa thức bị chia mang chia cho đơn thức chia. Ta thực hiện theo quy tắc chia đơn thức cho đơn thức đã học ở bài trước.

Ta có: \(5x^3y^2:2xy=\dfrac{5}{2}x^2y\); \(-10x^2y:2xy=-5x\); \(3xy^3:2xy=\dfrac{3}{2}y^2\).

+) Cộng các kết quả trên với nhau, ta được kết quả của phép chia trên là \(\dfrac{5}{2}x^2y-5x+\dfrac{3}{2}y^2\).

Ta có thể trình bày bài toán như sau:

\(\left(5x^3y^2-10x^2y+3xy^3\right):2xy\)

\(=\left(5x^3y^2:2xy\right)+\left(-10x^2y:2xy\right)+\left(3xy^3:2xy\right)\)

\(=\dfrac{5}{2}x^2y-5x+\dfrac{3}{2}y^2.\)

Nhận thấy: Mỗi đơn thức trong đa thức \(5x^3y^2-10x^2y+3xy^3\) đều chia hết cho đơn thức \(2xy\) (xem lại khái niệm đơn thức A chia hết cho đơn thức B trong bài trước). Khi đó, ta nói phép chia này là một phép chia hết. 

Như vậy, đa thức \(\dfrac{5}{2}x^2y-5x+\dfrac{3}{2}y^2\) là thương của phép chia đa thức \(5x^3y^2-10x^2y+3xy^3\) cho đơn thức \(2xy\).

Ta có quy tắc:

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left(5x^4-3x^3+x^2\right):3x^2\);

b) \(\left(5xy^2+9xy-x^2y^2\right):\left(-xy\right)\);

c) \(\left(x^3y^3-\dfrac{1}{2}x^2y^3-x^3y^2\right):\left(-\dfrac{1}{3}x^2y^2\right)\).

Lời giải:

a) \(\left(5x^4-3x^3+x^2\right):3x^2\)

\(=\left(5x^4:3x^2\right)+\left(-3x^3:3x^2\right)+\left(x^2:3x^2\right)\)

\(=\dfrac{5}{3}x^2-x+\dfrac{1}{3}\).

b) \(\left(5xy^2+9xy-x^2y^2\right):\left(-xy\right)\)

\(=\left[5xy^2:\left(-xy\right)\right]+\left[9xy:\left(-xy\right)\right]+\left[-x^2y^2:\left(-xy\right)\right]\)

\(=-5y-9+xy\)

\(=xy-5y-9.\)

c) \(\left(x^3y^3-\dfrac{1}{2}x^2y^3-x^3y^2\right):\left(-\dfrac{1}{3}x^2y^2\right)\)

\(=\left[x^3y^3:\left(-\dfrac{1}{3}x^2y^2\right)\right]+\left[\left(-\dfrac{1}{2}x^2y^3\right):\left(-\dfrac{1}{3}x^2y^2\right)\right]+\left[\left(-x^3y^2\right):\left(-\dfrac{1}{3}x^2y^2\right)\right]\)

\(=-3xy+\dfrac{3}{2}y+3x.\)

Chú ý: Trong thực hành, ta có thể tính nhẩm và bỏ bớt một số phép tính trung gian.

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left[5\left(a-b\right)^3+2\left(a-b\right)^2\right]:\left(b-a\right)^2\);

b) \(5\left(x-2y\right)^3:\left(5x-10y\right)\);

c) \(\left(x^3-27y^3\right):\left(x-3y\right)\).

Lời giải:

a) Nhận thấy, phép toán này chưa đúng dạng một đa thức chia một đơn thức. Tuy nhiên, bằng một phép đặt ẩn phụ, ta có thể đưa nó về đúng dạng đang học.

Đặt \(t=a-b\), ta có phép tính: 

\(\left(5t^3+2t^2\right):\left(-t\right)^2\)

\(=\left(5t^3+2t^2\right):t^2\)

\(=\left(5t^3:t^2\right)+\left(2t^2:t^2\right)\)

\(=5t+2\).

Như vậy, ta có kết quả của phép chia là \(5\left(a-b\right)+2\).

b) Tương tự câu a), ta cũng có thể đặt \(t=x-2y\), đưa về đúng dạng đa thức chia đơn thức. Để bớt dài dòng, ta có thể trình bày trực tiếp lời giải mà không cần qua đặt ẩn phụ.

Ta có \(5\left(x-2y\right)^3:\left(5x-10y\right)\)

\(=5\left(x-2y\right)^3:5\left(x-2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)^2\).

c) \(\left(x^3-27y^3\right):\left(x-3y\right)\)

Với phép tính này, ta chưa thể tính trực tiếp hay đặt ẩn phụ ngay. Thay vào đó, ta sử dụng hằng đẳng thức đã học để biến đổi.

\(\left(x^3-27y^3\right):\left(x-3y\right)\)

\(=\left[\left(x-3y\right)\left(x^2+3xy+9y^2\right)\right]:\left(x-3y\right)\)

\(=x^2+3xy+9y^2\).

Trong phép toán trên, ta coi đa thức \(x-3y\) như một biến riêng và thực hiện theo quy tắc đã học.