Biện luận số số nghiệm, số giao điểm của đồ thi

I. Dựa vào đồ thị (C) : \(y=f\left(x\right)\) để biện luận số nghiệm của phương trình \(g\left(x,m\right)=0\).

• Đưa phương trình về dạng \(f\left(x\right)=h\left(m\right)\).

• Vẽ đường thẳng \(y=h\left(m\right)\) bất kỳ song song với trục Ox.

• Số nghiệm phương trình \(g\left(x,m\right)=0\) là số giao điểm của (C) với đường thẳng \(y=h\left(m\right)\)

• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.

II. Cách vẽ một số hàm có dấu trị tuyệt đối

a. Vẽ đồ thị hàm số \(y=\left|f\left(x\right)\right|\)

Đồ thị $y=|f(x)|=\begin{cases} f(x) & \mbox{ nếu }f(x)\geq 0\\ -f(x) & \mbox{ nếu }f(x)<0 \end{cases}$ gồm:

  1. Phần đồ thị $y=f(x)$ ứng với $y\geq 0$ (nằm trên trục hoành).
  2. Phần đối xứng với đồ thị $y=f(x)$ ứng với $y<0$ (nằm dưới trục hoành).

b. Vẽ đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\).

Đồ thị $y=f(|x|)=\begin{cases}f(x) & \mbox{ nếu }x\geq 0\\ f(-x) & \mbox{ nếu }x<0 \end{cases}$ gồm:

  1. Phần đồ thị $y=f(x)$ ứng với $x\geq 0$ (nằm bên phải trục tung).
  2. Phần đối xứng với đồ thị $y=f(x)$ ứng với $x\geq 0$ ở trên.

c. Đồ thị \(\text{y=|h(x)|g(x)}\)

$y=|h(x)|g(x)=\begin{cases}f(x) & \mbox{ nếu }h(x)\geq 0\\ -f(x) & \mbox{ nếu }h(x)<0 \end{cases}\quad (f(x)=h(x)g(x))$ gồm:

  1. Phần đồ thị $y=f(x)$ ứng với $h(x)\geq 0$.
  2. Phần đối xứng với đồ thị $y=f(x)$ ứng với $h(x)<0$.

III. Các ví dụ

 Ví dụ 1: Cho hàm số $y=x^4-2x^2-1$

  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$.
  2. Tìm $m$ để phương trình $\left|x^4-2x^2-1\right|=2m$ có 6 nghiệm phân biệt.

  ĐS: $\dfrac{1}{2}<m<1$
 Ví dụ 2: Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x$

  1. Khảo sát và cẽ đồ thị hàm số trên.
  2. Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $|x|^3-6x^2+9|x|-3+m=0$.

ĐS: $m>3$: vô nghiệm, $m=3$:3 nghiệm, $-1<m<3$: 6 nghiệm, $m=-1$: 4 nghiệm, $m<-1$: 2 nghiệm
Ví dụ 3: Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4$.

  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
  2. Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình $(x+2)^2=\dfrac{m}{|x-1|}$.

ĐS: $m<0$: vô nghiệm, $m=0$: 1 nghiệm, $0<m<4$: 4 nghiệm, $m=4$: 3 nghiệm, $m>4$: 2 nghiệm
Ví dụ 4: Cho hàm số $y=\dfrac{-x+1}{x-2}$.

  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.
  2. Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $\left||x|-1\right|=m\left||x|-2\right|.$

ĐS: $m<0$: vô nghiệm, $0<m<\dfrac{1}{2}$: 4 nghiệm, $m=\dfrac{1}{2}$: 3 nghiệm, $\dfrac{1}{2}<m\leq 1$: 2 nghiệm, $m>1$: 4 nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Biện luận nghiệm của phương trình dựa trên đồ thị hàm số

Giao điểm của đồ thị phân thức

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...