Bài 7: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Khi biến đổi một biểu thức chứa căn bậc hai, ta có thể sử dụng phép khử mẫu của một biểu thức lấy căn.

Ví dụ: a) \(\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{3.5}{5.5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\);

b) Với \(ab>0\)\(\sqrt{\dfrac{2a}{7b}}=\sqrt{\dfrac{2a.7b}{7b.7b}}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{\sqrt{\left(7b\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{\left|7b\right|}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{7\left|b\right|}\).

Một cách tổng quát:

Với các biểu thức \(A,B\) mà \(AB>0\) và \(B\ne0\), ta có:

\(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}\)

Ví dụ: a) \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{2.3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\);

b) \(\sqrt{\dfrac{3}{4a^3}}=\dfrac{\sqrt{3.4a^3}}{4a^3}=\dfrac{\sqrt{4a^2}.\sqrt{3a}}{4a^3}=\dfrac{2a\sqrt{3a}}{4a^3}=\dfrac{\sqrt{3a}}{2a^2}\) (với \(a>0\));

c) \(xy\sqrt{\dfrac{3}{2xy}}=xy.\dfrac{\sqrt{3.2xy}}{\sqrt{\left(2xy\right)^2}}=xy.\dfrac{\sqrt{6xy}}{2\left|xy\right|}=xy.\dfrac{\sqrt{6xy}}{2xy}=\dfrac{\sqrt{6xy}}{2}\) (với \(xy>0\)).

 

@55049@@55050@@55058@

2. Trục căn thức ở mẫu

Ta xét một số ví dụ:

a) \(\dfrac{3}{2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}\)

b) \(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}\);

c) \(\dfrac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}\).

Ở các ví dụ trên, mục đích chung của việc biến đổi đều là làm mất căn ở mẫu.

Trong ví dụ b), ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức \(2+\sqrt{3}\). Ta gọi biểu thức \(2+\sqrt{3}\) là biểu thức liên hợp của \(2-\sqrt{3}\).

Tương tự trong ví dụ c), ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) là \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\).

Một cách tổng quát:

a) Với các biểu thức \(A,B\) và \(B>0\), ta có:

\(\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}\)

b) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A\ge0;A\ne B^2\), ta có

\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\dfrac{C\left(\sqrt{A}\mp B\right)}{A-B}\)

c) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A\ge0;B\ge0;A\ne B\) ta có

\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}}=\dfrac{C\left(\sqrt{A}\mp\sqrt{B}\right)}{A-B}\)

Ta có thể ghi nhớ nhanh bằng cách: Muốn trục căn thức một biểu thức chứa căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

Ví dụ: a) \(\dfrac{4}{3\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3.\sqrt{6^2}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3.6}=\dfrac{2\sqrt{6}}{9}\); Với \(x>0\)\(\dfrac{2}{\sqrt{3x}}=\dfrac{2\sqrt{3x}}{3x}\).

b) \(\dfrac{3}{2\sqrt{5}-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{\left(2\sqrt{5}-1\right)\left(2\sqrt{5}+1\right)}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^2-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{20-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{19}\)

Với \(a\ge0;a\ne1\) ta có \(\dfrac{a+1}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{1-a}\).

c) \(\dfrac{12}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}=\dfrac{12\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{12\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}{6-3}=4\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)\);

Với \(a>b>0\) ta có: \(\dfrac{3a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{3a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(2\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{3a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{4a-b}\).

 

@55051@@55053@@55059@

 


Danh sách các phiên bản khác của bài học này. Xem hướng dẫn
Thu Thao đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (19 tháng 4 2021 lúc 22:39) 0 lượt thích