Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \(a^x>b\) (hoặc \(a^x\ge b\)\(a^x< b\)\(a^x\le b\)) với \(a>0,a\ne1\).

Ta xét bất phương trình dạng \(a^x>b\):

   +) Nếu \(b\le0\), tập nghiệm của bất phương trình là \(R\) ;

   +) Nếu \(b>0\), bất phương trình tương đương với \(a^x>a^{\log_ab}\)

         Với \(a>1\), nghiệm của bất phương trình là \(x>\log_ab\) 

         Với \(0< a< 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x< \log_ab\).

Ví dụ 1:

+) \(3^x>81\Leftrightarrow x>\log_381\Leftrightarrow x>4\) ;

+) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x>32\Leftrightarrow x< \log_{\dfrac{1}{2}}32\Leftrightarrow x< -5\)

2. Bất phương trình mũ đơn giản

Ví dụ 2. Giải bất phương trình \(3^{x^2-x}< 9\).

Giải: 

Ta có \(3^{x^2-x}< 9\) \(\Leftrightarrow3^{x^2-x}< 3^2\)

Vì \(3>1\) nên \(x^2-x< 2\)

Giải bất phương trình \(x^2-x< 2\) ta được \(-1< x< 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(-1;2\right)\).

 

@33965@

Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(4^x-2.5^{2x}< 10^x\).

Giải:

Chia hai vế của bất phương trình cho \(10^x\) ta được 

          \(\left(\dfrac{2}{5}\right)^x-2\left(\dfrac{5}{2}\right)^x< 1\)

Đặt \(t=\left(\dfrac{2}{5}\right)^x\left(t>0\right)\) ta có bất phương trình \(t-\dfrac{2}{t}< 1\) hay \(\dfrac{t^2-t-2}{t}< 0\)

Giải bất phương trình này với điều kiện \(t>0\) ta được \(0< t< 2\).

Do đó \(0< \left(\dfrac{2}{5}\right)^x< 2\). Vì \(\dfrac{2}{5}< 1\) nên \(x>\log_{\dfrac{2}{5}}2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left(\log_{\dfrac{2}{5}}2;+\infty\right)\).

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(\log_ax>b\) (hoặc \(\log_ax\ge b\)\(\log_ax< b\)\(\log_ax\le b\)) với \(a>0,a\ne1\).

Xét bất phương trình \(\log_ax>b\):

   +) Trường hợp \(a>1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow x>a^b\) ;

   +) Trường hợp \(0< a< 1\) ta có \(\log_ax>b\Leftrightarrow0< x< a^b\).

Ví dụ 4: 

  a) \(\log_2x>7\Leftrightarrow x>2^7\Leftrightarrow x>128\) ;

  b) \(\log_{\dfrac{1}{2}}x>3\Leftrightarrow0< x< \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\Leftrightarrow0< x< \dfrac{1}{8}\).

2. Bất phương trình lôgarit đơn giản

Ví dụ 5. Giải bất phương trình \(\log_{0,5}\left(5x+10\right)< \log_{0,5}\left(x^2+6x+8\right)\).

Giải:

Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}5x+10>0\\x^2+6x+8>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>-2\)

Do \(0,5< 1\) nên bất phương trình đã cho tương đương với 

           \(5x+10>x^2+6x+8\)

      \(\Leftrightarrow x^2+x-2< 0\Leftrightarrow-2< x< 1\)

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(-2;1\right)\).

Ví dụ 6. Giải bất phương trình \(\log_2\left(x-3\right)+\log_2\left(x-2\right)\le1\).

Giải:

Điều kiện: \(x>3\)

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

          \(\log_2\left[\left(x-3\right)\left(x-2\right)\right]\le\log_22\)

Do \(2>1\) nên \(\left(x-3\right)\left(x-2\right)\le2\) 

Giải bất phương trình này ta được \(1\le x\le4\)

Kết hợp với điều kiện \(x>3\) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((3;4]\).

@43428@@43427@