Bài 3: Bất phương trình một ẩn

1. Mở đầu

Định nghĩa:

Bất phương trình một ẩn \(x\) là các hệ thức có dạng \(A\left(x\right)< B\left(x\right)\) hay \(A\left(x\right)>B\left(x\right)\) hay \(A\left(x\right)\le B\left(x\right)\) hay \(A\left(x\right)\ge B\left(x\right)\).

Trong đó: \(A\left(x\right)\) và \(B\left(x\right)\) là các biểu thức chứa một ẩn \(x\).

               \(A\left(x\right)\) được gọi là vế trái của bất phương trình;

               \(B\left(x\right)\) được gọi là vế phải của bất phương trình.

Ví dụ 1:

+) \(2x-1< 0\) là một bất phương trình một ẩn. 

    Trong đó: \(2x-1\) là vế trái , \(0\) là vế phải của bất phương trình.

+) \(y+1\ge\dfrac{1}{2}-2y\) là một bất phương trình một ẩn.

    Trong đó \(y+1\) là vế trái, \(\dfrac{1}{2}-2y\) là vế phải của bất phương trình.

+) \(2t^2-t\le t-7\) là một bất phương trình một ẩn.

    Trong đó \(2t^2-t\) là vế trái, \(t-7\) là vế phải của bất phương trình.

+) \(\dfrac{x}{2x-1}+\dfrac{x}{x+1}>\dfrac{1}{2}-\dfrac{x-1}{x^2}\)  là một bất phương trình một ẩn.

    Trong đó \(\dfrac{x}{2x-1}+\dfrac{x}{x+1}\) là vế trái, \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x-1}{x^2}\) là vế phải của bất phương trình.

Nghiệm của bất phương trình một ẩn là giá trị của ẩn sao cho khi thay giá trị đó vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

Ví dụ 2: Xét bất phương trình \(x-1\le3x+2\):

+) Thay \(x=1\) vào bất phương trình ta được: \(1-1\le3.1+2\) hay \(0\le5\) là một khẳng định đúng. Nên \(x=1\) là một nghiệm của bất phương trình.

+) Thay \(x=-5\) vào bất phương trình ta được: \(\left(-5\right)-1\le3.\left(-5\right)+2\) hay \(-6\le-13\) là một khẳng định sai nên \(x=-5\) không là nghiệm của bất phương trình.

2. Tập nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \(x>3\) là tập hợp tất cả các số lớn hơn 3, hay chính là tập hợp \(\left\{x|x>3\right\}\).

Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như sau:

(Trong hình vẽ, tất cả các điểm ở bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ. Ta dùng dấu "(" để biểu thị rằng điểm 3 cũng bị gạch bỏ.)

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình \(x\le7\) là tập hợp tất cả các số nhỏ hơn 7 và cả số 7, hay chính là tập hợp \(\left\{x|x\le7\right\}\).

Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như sau:

(Trong hình vẽ, tất cả các điểm ở bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại. Ta dùng dấu "\(]\)" để biểu thị rằng điểm 7 không bị gạch bỏ.)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(2x-1< 3\)?

Giải:

Xét bất phương trình: \(2x-1>3\)

Cộng cả 2 vế của bất phương trình với \(1\) ta được: \(2x>4\)   

Nhân cả 2 vế của bất phương trình với \(\dfrac{1}{2}\) ta được: \(x>2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x>2\right\}\).

Tập nghiệm trên được biểu diễn trên trục số như sau:

3. Bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương.

Ta dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương đó.

Ví dụ 1: 

+) \(x>3\Leftrightarrow3< x\)

+) \(x-1< 2\Leftrightarrow x< 3\)

Ví dụ 2: Các cặp bất phương trình sau có phải cặp bất phương trình tương đương không? Vì sao?

      a) \(x+0,5< 0\) và \(6x< -3\)

      b) \(x^2\left(x-1\right)\le0\) và \(3\left(x-1\right)+3\le0\)

Giải:

a) - Xét bất phương trình \(x+0,5< 0\):

       Cộng 2 vế với -0,5 ta được: \(x< -0,5\). 

       Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{x|x< -0,5\right\}\).

   - Xét bất phương trình \(6x< -3\):

       Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{6}\) ta được: \(x< -3.\dfrac{1}{6}\) hay \(x< -0,5\)

       Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left\{x|x< -0,5\right\}\).

Nên 2 bất phương trình trên là hai bất phương trình tương đương.

b) - Xét bất phương trình \(x^2\left(x-1\right)\le0\):

       Ta có: \(x^2\ge0,\forall x\) nên để \(x^2\left(x-1\right)\le0\) thì \(x-1\le0\) (1)

       Cộng cả 2 vế của bất phương trình (1) với 1 ta được: \(x\le1\)

       Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x\le1\right\}\).

    - Xét bất phương trình \(3\left(x-1\right)+3\le0\):

      Cộng cả 2 vế với -3 ta được: \(3\left(x-1\right)\le-3\)

      Chia cả 2 vế cho 3 ta được: \(x-1\le-1\)

      Cộng cả 2 vế với 1 ta được: \(x\le0\).

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x\le0\right\}\).

Do đó, hai bất phương trình trên không phải hai bất phương trình tương đương.