Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng \(ax+b< 0\) (hoặc \(ax+b>0\); \(ax+b\le0\); \(ax+b\ge0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a\ne0\), được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

+) \(2x-3< 0\) là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.

+) \(-5x>0\) là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.

+) \(0.x-0,5\ge0\) không là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.

+) \(x^2-1\le0\) không là một bất phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Quy tắc này được suy ra từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(x-5< 18\).

Giải:

Ta có: \(x-5< 18\)

    \(\Leftrightarrow x< 18+5\) (chuyển vế hạng tử -5 kèm theo đổi dấu của nó thành +5)

    \(\Leftrightarrow x< 23\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x< 23\right\}\).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(3x>2x+5\) và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

Giải:

Ta có: \(3x>2x+5\)

    \(\Leftrightarrow3x-2x>5\) (Chuyển vế hạng tử \(2x\) kèm theo đổi dấu của nó thành \(-2x\))

    \(\Leftrightarrow x>5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x>5\right\}\). Tập nghiệm này được biểu diễn như sau: 

b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân cả 2 vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Quy tắc trên được suy ra từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm và số dương.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(0,5x< 3\).

Giải:

Ta có: \(0,5x< 3\)

     \(\Leftrightarrow0,5x.2< 3.2\) (Nhân cả 2 vế với 2)

     \(\Leftrightarrow x< 6\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x< 6\right\}\).

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(-\dfrac{1}{4}x< 3\).

Giải:

Ta có: \(-\dfrac{1}{4}x< 3\)

     \(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{4}x.\left(-4\right)>3.\left(-4\right)\) (Nhân cả 2 vế với -4 và đổi chiều bất phương trình)

     \(\Leftrightarrow x>-12\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x>-12\right\}\).

3. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(2x-3< 0\) và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Giải:

Ta có: \(2x-3< 0\)

    \(\Leftrightarrow2x< 3\) (Chuyển vế hạng tử -3 kèm theo đổi dấu của nó)

    \(\Leftrightarrow x< \dfrac{3}{2}\) (Nhân cả 2 vế với \(\dfrac{1}{2}\) và giữ nguyên chiều)

    \(\Leftrightarrow x< 1,5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x< 1,5\right\}\). Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số là:

- Chú ý: Để cho gọn,khi trình bày bài ta có thể:

           + Không ghi câu giải thích;

           + Khi có kết quả \(x< 1,5\) thì coi là giải xong và được viết đơn giản là: Nghiệm của bất phương trình \(2x-3< 0\) là \(x< 1,5\).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(-4x+12< 0\).

Giải:

Ta có: \(-4x+12< 0\)

      \(\Leftrightarrow12< 4x\)

      \(\Leftrightarrow12:4< 4x:4\)

      \(\Leftrightarrow3< x\) 

      \(\Leftrightarrow x>3\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(-4x+12< 0\) là \(x>3\).

4. Giải bất phương trình đưa được về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(3x+5< 5x-7\).

Giải:

Ta có: \(3x+5< 5x-7\)

     \(\Leftrightarrow3x-5x< -7-5\)

     \(\Leftrightarrow-2x< -12\)

     \(\Leftrightarrow-2x:\left(-2\right)>-12:\left(-2\right)\)

     \(\Leftrightarrow x>6\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x>6\).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(x-\dfrac{x+5}{2}\le\dfrac{x+4}{6}-\dfrac{x-2}{2}\).

Giải:

Ta có: \(x-\dfrac{x+5}{2}\le\dfrac{x+4}{6}-\dfrac{x-2}{2}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{6x-3\left(x+5\right)}{6}\le\dfrac{x+4-3\left(x-2\right)}{6}\)

    \(\Leftrightarrow6x-3\left(x+5\right)\le x+4-3\left(x-2\right)\)

    \(\Leftrightarrow6x-3x-15\le x+4-3x+6\)

    \(\Leftrightarrow3x-15\le-2x+10\)

    \(\Leftrightarrow3x+2x\le10+15\)

    \(\Leftrightarrow5x\le25\)

    \(\Leftrightarrow x\le5\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{x|x\le5\right\}\).

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\left(x+3\right)\left(x+4\right)>\left(x-2\right)\left(x+9\right)+25\).

Giải:

Ta có: \(\left(x+3\right)\left(x+4\right)>\left(x-2\right)\left(x+9\right)+25\)

     \(\Leftrightarrow x^2+7x+12>x^2+7x-18+25\)

     \(\Leftrightarrow x^2+7x-x^2-7x>-18+25-12\)

     \(\Leftrightarrow0>-5\) (luôn đúng)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left\{x|x\in R\right\}\).

Ví dụ 4: Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(x-1=3m+4\) có nghiệm lớn hơn 2?

Giải:

Ta có: \(x-1=3m+4\)

    \(\Leftrightarrow x=3m+4+1\)

    \(\Leftrightarrow x=3m+5\)

Để phương trình có nghiệm lớn hơn 2 thì \(3m+5>2\)

  \(\Leftrightarrow3m>2-5\)

  \(\Leftrightarrow3m>-3\)

  \(\Leftrightarrow m>-1\)

Vậy với \(m>-1\) thì phương trình có nghiệm lớn hơn 2.

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình        \(\dfrac{2017-x}{15}+\dfrac{2018-x}{16}+\dfrac{17+x}{2019}+\dfrac{18+x}{2020}\le4\)     

Giải:

Ta có: \(\dfrac{2017-x}{15}+\dfrac{2018-x}{16}+\dfrac{17+x}{2019}+\dfrac{18+x}{2020}\le4\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2017-x}{15}+\dfrac{2018-x}{16}+\dfrac{17+x}{2019}+\dfrac{18+x}{2020}-4\le0\)

    \(\Leftrightarrow\) \((\dfrac{2017-x}{15}-1)+(\dfrac{2018-x}{16}-1)+(\dfrac{17+x}{2019}-1)+(\dfrac{18+x}{2020}-1)\le0\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{2002-x}{15}+\dfrac{2002-x}{16}+\dfrac{x-2002}{2019}+\dfrac{x-2002}{2020}\le0\)

    \(\Leftrightarrow\left(2002-x\right)\left(\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}\right)\le0\)    (*)

Ta có: \(\dfrac{1}{15}>\dfrac{1}{2019}\), \(\dfrac{1}{16}>\dfrac{1}{2020}\) nên \(\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{2019}-\dfrac{1}{2020}>0\)

Do đó (*) \(\Leftrightarrow2002-x\le0\)

               \(\Leftrightarrow2002\le x\) hay \(x\ge2002\).

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x\ge2002\)

Nên nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là \(x=2002\).