Bài tập cuối chương I
Nội dung lý thuyết
1. Tập hợp
- Khái niệm: Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.
- Cách viết tập hợp:
- Tên tập hợp được viết bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…
- Để viết tập hợp thường có hai cách:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp.
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
Ví dụ:
+ A = {0; 2; 4; 6; 8}.
+ A = { x | x là số tự nhiên, x là số chẵn nhỏ hơn 10}.
2. Tập hợp các số tự nhiên
- \(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên, \(\mathbb{N}\) = {0; 1; 2; 3; ...}.
- \(\mathbb{N^*}\) là tập hợp các số tự nhiên khác 0, \(\mathbb{N^*}\) = { 1; 2; 3; ...}.
- Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia, ta viết a < b hoặc b > a
Ngoài ra ta cũng viết a ≥ b để chỉ a > b hoặc a = b, viết a ≤ b để chỉ a < b hoặc a = b
- Nếu a < b và b < c thì a < c.
- Hai số tự nhiên liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 đơn vị. Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất.
- Số 0 là số tự nhiên bé nhất. Không có số tự nhiên lớn nhất.
- Tập hợp các số tự nhiên có vô số phần tử.
3. Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các số tự nhiên
| Phép tính | a | b | Kết quả phép tính | Điều kiện |
| a + b | Số hạng | Số hạng | Tổng | Mọi a và b |
| a - b | Số bị trừ | Số trừ | Hiệu | a ≥ b |
| a.b | Thừa số | Thừa số | Tích | Mọi a và b |
| \(\dfrac{a}{b}\) | Số bị chia | Số chia | Thương | b ≠ 0 |
Phép cộng và phép nhân có các tính chất tương tự nhau:
.png)
4. Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của a kí hiệu là an
\(a^n=a.a.a....a\) với n thừa số a.
- \(a^0=1\left(a\ne0\right)\)
- \(a^m.a^n=a^{m+n}\)
- \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
- \(\left(a^m\right)^n=a^{m.n}\)
- \(a^n.b^n=\left(ab\right)^n\)
5. Thứ tự thực hiện các phép tính
a) Đối với biểu thức không có dấu ngoặc
+ Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
+ Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng trừ.
Lũy thừa → Nhân chia → Cộng trừ
b) Đối với biểu thức có dấu ngoặc
+ Nếu biểu thức có các dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiên phép tính theo thứ tự: ( ) → [ ] → { }
6. Quan hệ chia hết, tính chất chia hết
- Quan hệ chia hết
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0 nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết là a : b = q.
a | : | b | = | q |
↓ |
| ↓ |
| ↓ |
số bị chia | số chia | thương |
Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0 ta luôn tìm được hai số tự nhiên là q và r duy nhất sao cho: a = b.q + r trong đó 0 ≤ r < b.
+ Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết. Khi đó a là bội của b, b là ước của a.
+ Nếu r ≠ 0 thì ta có phép chia có dư.
- Tính chất chia hết
- Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a \(\pm\) b) ⋮ m ( lưu ý: a ≥ b đối với phép trừ).
- Nếu a ⋮ m và b \(⋮̸\)m thì (a \(\pm\) b) \(⋮̸\)m.
7. Dấu hiệu chia hết cho 2
Dấu hiệu: Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì đều chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
Ví dụ: 24 098 chia hết cho 2.
8. Dấu hiệu chia hết cho 5
Dấu hiệu: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì đều chia hết cho 5 và chỉ có những số đó mới chia hết cho 5.
Ví dụ: 5 610 chia hết cho 5.
9. Dấu hiệu chia hết cho 3
Dấu hiệu: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó chia hết cho 3.
Ví dụ: 453 ⋮ 3 vì 4 + 5 + 3 = 12 ⋮ 3.
10. Dấu hiệu chia hết cho 9
Dấu hiệu: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó chia hết cho 9.
Ví dụ: 261 ⋮ 9 vì 2 + 6 + 1 = 9 ⋮ 9.
11. Số nguyên tố. Hợp số
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
Ví dụ: 17 là số nguyên tố, 25 là hợp số.
12. Ước chung và bội chung
- Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+ m ∈ ƯC(a, b) nếu a ⋮ m và b ⋮ m
+ n ∈ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ n, b ⋮ n và c ⋮ n.
- Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Nhận xét:
+ m ∈ BC(a, b) nếu m ⋮ a và m ⋮ b.
+ n ∈ BC(a, b, c) nếu n ⋮ a, n ⋮ b và n ⋮ c.
13. Ước chung lớn nhất
Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Cách tìm ước chung lớn nhất:
+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
+ Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;
+ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Lưu ý:
+ Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
+ Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
+ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Cách tìm ước chung thông qua tìm ƯCLN:
Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
14. Bội chung nhỏ nhất
Định nghĩa: Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
Cách tìm bội chung nhỏ nhất:
+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
+ Chọn ra các thừa tố nguyên tố chung và riêng.
+ Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Cách tìm bội chung thông qua tìm BCNN:
Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.