Bài toán mở đầu

Bạn Tròn: Tớ viết được đa thức x⁶ + y⁶ dưới dạng tích đấy!

Bạn Vuông: Tròn làm thế nào nhỉ?

1. Tổng hai lập phương

Với hai biểu thức A và B tùy ý, ta có 

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²).

Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) x³ + 8;                                    b) x³ + 8y³.

Hướng dẫn giải

a) x³ + 8 = x³ + 2³ 

                  = (x + 2)(x² - x. 2 + 2²)

               = (x + 2)(x² - 2x + 4).

b) x³ + 8y³ = x³ + (2y)³ 

                  = (x + 2y)[(x² - x. 2y + (2y)²]

               = (x + 2y)(x² - 2xy + 4y²).

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức (x + 3)(x² - 3x + 9) - x³.

Hướng dẫn giải

(x + 3)(x² - 3x + 9) - x³ = x³ + 3³ - x³ = 3³ = 27.

2. Hiệu hai lập phương

Với A và B là hai biểu thức tùy ý, ta có

A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²).

Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a) x³ - 1;                                    b) x³ - 27y³.

Hướng dẫn giải

a) x³ - 1 = x³ - 1³ 

                  = (x - 1)(x² + x. 1 + 1²)

               = (x - 1)(x² + x + 1).

b) x³ - 27y³ = x³ - (3y)³ 

                  = (x - 3y)[x² + x. 3y + (3y)²]

               = (x - 3y)(x² + 3xy + 9y²).

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức (2x - y)(4x² + 2xy + y²) + y³.

Hướng dẫn giải

(2x - y)(4x² + 2xy + y²) + y³ = (2x)³ - y³ + y³ = 8x³.

Ví dụ 5: Giải quyết bài toán mở đầu

Hướng dẫn giải

x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³ = (x² + y²)[(x²)² - x². y² + (y²)²]

                                   = (x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴).