Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

1. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ở những bài trước, ta đã biết: Có 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thường xuyên được sử dụng:

1. \(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2.\)
2. \(\left(x-y\right)^2=x^2-2xy+y^2.\)
3. \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right).\)
4. \(\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3.\)
5. \(\left(x-y\right)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3.\)
6. \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right).\)
7. \(x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right).\)

Ta có thể dùng 7 hằng đẳng thức trên theo cả 2 chiều một cách linh hoạt để phân tích một đa thức nào đó thành một tích các đa thức khác. Việc làm đó được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Ví dụ: Phân tích đa thức \(4x^2+4x+1\) thành nhân tử?

Ta dễ thấy, \(4x^2+4x+1=\left(2x\right)^2+2.2x.1+1^2=\left(2x+1\right)^2.\)

Như vậy, ta đã dùng hằng đẳng thức số 1 theo chiều ngược lại để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\);

b) \(10x-25-x^2\);

c) \(\left(3x+y\right)^2-\left(x+1\right)^2\);

d) \(\dfrac{1}{27}-8x^3\).

Lời giải:

a) \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=\left(2x\right)^3+3.\left(2x\right)^2y+3.2x.y^2+y^3=\left(2x+y\right)^3.\)

b) \(10x-25-x^2=-\left(x^2-10x+25\right)=-\left(x-5\right)^2.\)

c) \(\left(3x+y\right)^2-\left(x+1\right)^2=\left(3x+y+x+1\right)\left(3x+y-x-1\right)=\left(4x+y+1\right)\left(2x+y-1\right).\)

d) \(\dfrac{1}{27}-8x^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3-\left(2x\right)^3=\left(\dfrac{1}{3}-2x\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}x+4x^2\right).\)

Nhận xét: Giống như ví dụ b), đôi khi để xuất hiện hằng đẳng thức, ta phải đặt dấu trừ ra ngoài rồi đổi dấu các số hạng của đa thức.

Ví dụ 2: Tính nhanh:

a) \(106^2-36\);

b) \(87^2+73^2-27^3-13^3\).

Lời giải: 

a) Ta có \(106^2-36=106^2-6^2=\left(106-6\right)\left(106+6\right)=100.112=11200.\)

b) Ta có: \(87^2+73^2-27^2-13^2=\left(87^2-13^2\right)+\left(73^2-27^2\right)\)

\(=\left(87+13\right)\left(87-13\right)+\left(73+27\right)\left(73-27\right)\)

\(=100.74+100.46=100\left(74+46\right)=100.120=12000.\)

Ví dụ 3: Tìm \(x\) biết

a) \(x^3+9x^2=-26-27x\);

b) \(\left(2x-1\right)^2-9x^2=0\).

Lời giải:

a) \(x^3+9x^2=-26-27x\)

\(\Leftrightarrow x^3+9x^2+27x+27=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow x+3=1\Leftrightarrow x=-2\).

Vậy \(x=-2\) là giá trị cần tìm.

b) \(\left(2x-1\right)^2-9x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2-\left(3x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1+3x\right)\left(2x-1-3x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-1\right)\left(-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-1=0\\-x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{5}\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=\dfrac{1}{5};x=-1\) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Chứng minh \(\left(2n+5\right)^2-25\) chia hết cho \(4\) với mọi số nguyên \(n\).

Lời giải:

Ta có: \(\left(2n+5\right)^2-25=\left(2n+5+5\right)\left(2n+5-5\right)=2n\left(2n+10\right)=4n\left(n+5\right)\).

Như vậy với mọi số nguyên \(n\), ta có \(\left(2n+5\right)^2-25\) chia hết cho 4.