Bài 5: Xác suất của biến cố

I. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

1. Định nghĩa

Để đánh giá mức độ xảy ra của một biến cố, ta thường gán biến cố đó với một con số. Nếu số đó lớn thì khả năng xảy ra cũng lớn và ngược lại. Ta gọi số đó là xác suất của biến cố.

Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng nhất. 

Không gian mẫu của phép thử này có 6 phần tử được mô tả là \(\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\).

Do súc sắc cân đối, đồng nhất và ngẫu nhiên nên khả năng xuất hiện từng mặt của con súc sắc là như nhau, ta nói chúng đồng khả năng xuất hiện. Vậy khả năng xuất hiện của mỗi mặt đều là \(\dfrac{1}{6}\).

Nếu \(A\) là biến cố "Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ" (\(A=\left\{1;3;5\right\}\)) thì khả năng xảy ra của \(A\) là:

        \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}\)

Số này được gọi là xác suất của biến cố \(A\).

Định nghĩa:

Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số \(\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) là xác suất của biến cố \(A\), và được kí hiệu là \(P\left(A\right)\)

                \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Trong đó \(n\left(A\right)\) là số phần tử của \(A\), hay là số các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\), còn \(n\left(\Omega\right)\) là số phần tử của \(\Omega\) hay là số các kết quả có thể có của phép thử.

2. Ví dụ

Ví dụ 2: Cho phép thử "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất", hãy tìm xác suất của các biến cố sau:

a) \(A\) : "xuất hiện mặt chẵn"

b) \(B\) : "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3"

c) \(C\) : "xuất hiện mặt 7 chấm"

Giải:

  Ta có không gian mẫu là: \(\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\), \(n\left(\Omega\right)=6\)

a) \(A\): "xuất hiện mặt chẵn" hay \(A=\left\{2;4;6\right\}\), suy ra \(n\left(A\right)=3\).

Vậy \(P\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3" hay \(B=\left\{3;6\right\}\), suy ra \(n\left(B\right)=2\).

Vậy \(P\left(B\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\)

c) \(C\): "xuất hiện mặt 7 chấm" hay \(C=\varnothing\), suy ra \(n\left(C\right)=\varnothing\).

Vậy \(P\left(C\right)=\dfrac{0}{6}=0\)

Ví dụ 3: Cho phép thử "Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần". Tính xác suất của các biến cố sau:

a) \(A\): "Hai lần gieo kết quả giống nhau"

b) \(B\): "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"

c) \(C\): "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần"

Giải:

   Không gian mẫu là: \(\Omega=\left\{SS;SN;NS;NN\right\}\); \(n\left(\Omega\right)=4\)

a) \(A\): "Hai lần gieo kết quả giống nhau" hay \(A=\left\{SS,NN\right\}\), suy ra \(n\left(A\right)=2\) 

Vậy \(P\left(A\right)=\dfrac{2}{4}=0,5\)

b) \(B\): "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần" hay \(B=\left\{SS,SN,NS\right\}\), suy ra \(n\left(B\right)=3\) 

Vậy \(P\left(B\right)=\dfrac{3}{4}=0,75\)

c) \(C\): "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần" hay \(C=\left\{SN,NS\right\}\); suy ra \(n\left(C\right)=2\) 

Vậy \(P\left(C\right)=\dfrac{2}{4}=0,5\)

II. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1. Định lí

Giả sử \(A\) và \(B\) là các biến cố liên quan đến một phép thử có số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. 

Định lí:

a) \(P\left(\varnothing\right)=0;P\left(\Omega\right)=1\) ;

b) \(0\le P\left(A\right)\le1\) với mọi biến cố \(A\) ;

c) Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc (tức \(A\cap B=\varnothing\)) thì \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\)  (công thức cộng xác suất)

Hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) ta có:

\(P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\)

2. Ví dụ

Ví dụ 4: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất của các biến cố:

a) \(A\): "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"

b) \(B\): "Nhận được quả cầu chia hết cho 3"

c) \(A\cap B\)

d) \(C\): "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6"

Giải:

Không gian mẫu là \(\Omega=\left\{1,2,3,...,20\right\}\) gồm 20 phần tử, hay \(n\left(\Omega\right)=20\)

a) \(A\): "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"

hay \(A=\left\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\right\}\) suy ra \(n\left(A\right)=10\)

Nên \(P\left(A\right)=\dfrac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "Nhận được quả cầu chia hết cho 3"

hay \(B=\left\{3;6;9;12;15;18\right\}\) suy ra \(n\left(B\right)=6\)

Nên \(P\left(B\right)=\dfrac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\)

c) Vì \(A\cap B=\left\{6;12;18\right\}\) suy ra \(n\left(A\cap B\right)=3\)

Nên \(P\left(A\cap B\right)=\dfrac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{3}{20}\)

d) Vì \(A\cap B=\left\{6;12;18\right\}\) nên \(A\cap B\) là biến cố: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 6"

Do đó \(C\) là biến cố đối của biến cố \(A\cap B\) hay \(C=\overline{A\cap B}\)

Nên \(P\left(C\right)=1-P\left(A\cap B\right)=1-\dfrac{3}{20}=\dfrac{17}{20}\)

III. CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

Ví dụ 5: Cho phép thử "Gieo một đồng tiền rồi sau đó gieo con súc sắc". Tính xác suất các biến cố sau:

a) \(A\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp"

b) \(B\): "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm"

c) \(C\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm".

Giải:

Không gian mẫu là \(\Omega\) = {S1, S2, S3, S4, S5, S6, N1, N2, N3, N4, N5, N6} ; \(n\left(\Omega\right)=12\)

a) \(A\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp" hay \(A=\left\{S1,S2,S3,S4,S5,S6\right\}\), suy ra \(n\left(A\right)=6\) 

\(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(B\): "Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" hay \(B=\left\{S6,N6\right\}\) suy ra \(n\left(B\right)=2\)

\(\Rightarrow P\left(B\right)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\)

c) \(C\): "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm" hay \(C=\left\{S6\right\}\) suy ra \(n\left(C\right)=1\) \(\Rightarrow P\left(C\right)=\dfrac{1}{12}\)

Ta có nhận xét:

     \(C=A.B\) hay \(C=A\cap B\) 

và \(P\left(C\right)=P\left(A.B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)\)

Công thức nhân hai xác suất ở trên chỉ đúng khi hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập nhau, tức là sự xảy ra của biến cố này (đồng tiền xuất hiện mặt sấp) không ảnh hưởng đến sự xảy ra của biến cố kia (súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm).

Tổng quát ta có:

\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

      \(P\left(A.B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)\)