Nội dung lý thuyết
Trong bài này, ta chỉ xét các phương trình mà hai vế của nó là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu.
Tính chất cần nhớ:
Trong một tích, nếu có một thừa số bằng \(0\) thì tích bằng \(0\); ngược lại nếu tích bằng \(0\) thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng \(0\).
Cách viết thu gọn: \(ab=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\end{matrix}\right.\) (\(a\) và \(b\) là hai số)
Ví dụ 1: Giải phương trình \(\left(2x-3\right)\left(x+1\right)=0\)
Áp dụng tính chất nếu trên vào phương trình ta cũng được:
\(\left(2x-3\right)\left(x+1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2x-3=0\) hoặc \(x+1=0\)
Khi đó ta phải giải 2 phương trình:
1) \(2x-3=0\Leftrightarrow2x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)
2) \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{3}{2};-1\right\}\).
Đối với các phương trình tích có dạng \(A\left(x\right)B\left(x\right)=0\) ta áp dụng công thức giải:
\(A\left(x\right)B\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(x\right)=0\\B\left(x\right)=0\end{matrix}\right.\)
Như vậy, muốn giải phương trình \(A\left(x\right)B\left(x\right)=0\) ta giải các phương trình \(A\left(x\right)=0\) và \(B\left(x\right)=0\) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left(x+1\right)\left(x+4\right)=\left(2-x\right)\left(2+x\right)\).
Giải:
\(\left(x+1\right)\left(x+4\right)=\left(2-x\right)\left(2+x\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x+4=4-x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x+x^2+4-4=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+5x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2x+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-5}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0;\dfrac{-5}{2}\right\}\)
Nhận xét: Trong quá trình giải phương trình trên, ta đã thực hiện 2 bước:
- Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng phương trình tích.
Trong bước này, ta đã thực hiện chuyển các hạng tử sang một vế, vế còn lại bằng 0, sau đó thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử.
- Bước 2: Giải phương trình tích và kết luận.
Chú ý: Trong trường hợp vế trái là tích của nhiều hơn 2 nhân tử, ta cũng làm tương tự.
Ví dụ 3. Giải phương trình \(\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)=0\).
Giải:
\(\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-1;-2\right\}\).
Ví dụ 4: Giải phương trình \(2x^3=x^2+2x-1\)
Giải:
\(2x^3=x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow2x^3-x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^3-x^2\right)-\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-1;\dfrac{1}{2}\right\}\).