Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khác- Ta nói dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu \(\left|u_n\right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=0\) hay \(u_n\rightarrow0\) khi \(n\rightarrow+\infty\).
Như vậy, \(\left(u_n\right)\) có giới hạn là 0 khi \(n\rightarrow+\infty\) nếu \(u_n\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là \(n\) đủ lớn.
Ví dụ: Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{1}{n}\) có giới hạn là 0 khi \(n\rightarrow+\infty\) , ta viết \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=0\) ;
- Ta nói dãy số \(\left(v_n\right)\) có giới hạn là số \(a\) (hay \(v_n\) dần tới \(a\)) khi \(n\rightarrow+\infty\), nếu \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(v_n-a\right)=0\)
Kí hiệu: \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}v_n=a\) hay \(v_n\rightarrow a\) khi \(n\rightarrow+\infty\).
- Từ định nghĩa suy ra các kết quả:
a) \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}=0\) ; \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^k}=0\) với \(k\) nguyên dương ;
b) \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}q^n=0\) nếu \(\left|q\right|< 1\) ;
c) Nếu \(u_n=c\) (\(c\) là hằng số) thì \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\)\(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}c=c\).
Chú ý: Từ nay về sau thay cho \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=a\) ta viết tắt là \(\lim\limits u_n=a\).
Định lí:
a) Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=b\) thì
\(\lim\limits\left(u_n+v_n\right)=a+b\) ; \(\lim\limits\left(u_n-v_n\right)=a-b\) ;
\(\lim\limits\left(u_n.v_n\right)=a.b\) ; \(\lim\limits\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\).
b) Nếu \(u_n\ge0\) với mọi \(n\) và \(\lim\limits u_n=a\) thì
\(a\ge0\) và \(\lim\limits\sqrt{u_n}=\sqrt{a}\).
- Cấp số nhân vô hạn \(\left(u_n\right)\) có công bội \(q\) với \(\left|q\right|< 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Chẳng hạn: Dãy số \(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{2^n},...\) với công bội \(q=\dfrac{1}{2}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn ;
Dãy số \(1;-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{9};-\dfrac{1}{27};\dfrac{1}{81};...;\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1},...\) với công bội \(q=-\dfrac{1}{3}\) là một cấp số nhân lùi vô hạn ; ...
- Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_n\right)\) có công bội \(q\). Khi đó,
\(S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{u_1}{1-q}-\left(\dfrac{u_1}{1-q}\right).q^n\)
Vì \(\left|q\right|< 1\) nên \(\lim\limits q^n=0\). Từ đó ta có:
\(\lim\limits S_n=\lim\limits\left[\dfrac{u_1}{1-q}-\left(\dfrac{u_1}{1-q}\right).q^n\right]=\dfrac{u_1}{1-q}\).
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left(u_n\right)\) và được kí hiệu là \(S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...\) Như vậy :
\(S=\dfrac{u_1}{1-q}\) (\(\left|q\right|< 1\)).
- Định nghĩa:
Ta nói dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\lim\limits u_n=+\infty\) hay \(u_n\rightarrow+\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\)
Dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn \(-\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\) nếu \(\lim\limits\left(-u_n\right)=+\infty\)
Kí hiệu: \(\lim\limits u_n=-\infty\) hay \(u_n\rightarrow-\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\).
Nhận xét: \(\lim\limits u_n=+\infty\Leftrightarrow\lim\limits\left(-u_n\right)=-\infty\)
- Một vài giới hạn đặc biệt:
a) \(\lim\limits n^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương ;
b) \(\lim\limits q^n=+\infty\) nếu \(q>1\).
- Định lí:
a) Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=\pm\infty\) thì \(\lim\limits\dfrac{u_n}{v_n}=0\) ;
b) Nếu \(\lim\limits u_n=a>0\) , \(\lim\limits v_n=0\) và \(v_n>0\) với mọi \(n\) thì \(\lim\limits\dfrac{u_n}{v_n}=+\infty\) ;
c) Nếu \(\lim\limits u_n=+\infty\) và \(\lim\limits v_n=a>0\) thì \(\lim\limits u_nv_n=+\infty\).
- Định nghĩa:
Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash\left\{x_0\right\}\).
Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n\in K\backslash\left\{x_0\right\}\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow x_0\).
Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x=x_0\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}c=c\), với \(c\) là hằng số.
- Định lí về giới hạn hữu hạn:
a) Giả sử \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=M\). Khi đó:
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M\) ;
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M\) ;
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M\) ;
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{L}{M}\) (nếu \(M\ne0\)).
b) Nếu \(f\left(x\right)\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\), thì
\(L\ge0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}\).
(Dấu của \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với \(x\ne x_0\))
- Giới hạn một bên:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(x_0;b\right)\).
Số \(L\) được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_0< x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;x_0\right)\).
Số \(L\) được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y=f\left(x\right)\) khi \(x\rightarrow x_0\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(a< x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=L\).
- Ta thừa nhận định lí:
\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\) khi và chỉ khi \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=\)\(\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=L\).
- Định nghĩa:
a) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).
Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow+\infty\).
b) Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) được xác định trên khoảng \(\left(-\infty;a\right)\).
Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\rightarrow-\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n< a\) và \(x_n\rightarrow-\infty\), ta có \(f\left(x_n\right)\rightarrow L\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=L\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow L\) khi \(x\rightarrow-\infty\).
- Chú ý:
a) Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương, ta luôn có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}c=c\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}c=c\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{c}{x^k}=0\).
b) Định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x\rightarrow x_0\) vẫn còn đúng khi \(x\rightarrow+\infty\) hoặc \(x\rightarrow-\infty\).
- Định nghĩa:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(\left(a;+\infty\right)\).
Ta nói hàm số \(y=f\left(x\right)\) có giới hạn là \(-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\) nếu với dãy số \(\left(x_n\right)\) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n\rightarrow+\infty\), ta nói \(f\left(x_n\right)\rightarrow-\infty\).
Kí hiệu: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\) hay \(f\left(x\right)\rightarrow-\infty\) khi \(x\rightarrow+\infty\).
Nhận xét: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(-f\left(x\right)\right)=-\infty\).
- Một vài giới hạn đặc biệt:
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^k=+\infty\) với \(k\) nguyên dương ;
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=-\infty\) nếu \(k\) là số lẻ ;
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^k=+\infty\) nếu \(k\) là số chẵn.
- Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích \(f\left(x\right).g\left(x\right)\)
Nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=L\ne0\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)=+\infty\) (hoặc \(-\infty\)) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right).g\left(x\right)\) được tính dựa vào bảng:
| \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)\) | \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)\) | \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right).g\left(x\right)\) |
| \(L>0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(L>0\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(L< 0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(L< 0\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)
| \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)\) | \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g\left(x\right)\) | Dấu của \(g\left(x\right)\) | \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) |
| \(L\) | \(\pm\infty\) | Tuỳ ý | 0 |
| \(L>0\) | 0 | + | \(+\infty\) |
| \(L>0\) | 0 | - | \(-\infty\) |
| \(L< 0\) | 0 | + | \(-\infty\) |
| \(L< 0\) | 0 | - | \(+\infty\) |
- Định nghĩa:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K\).
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)\).
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) không liên tục tại \(x_0\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
- Định nghĩa:
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f\left(x\right)=f\left(a\right)\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f\left(x\right)=f\left(b\right)\).
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như \((a;b]\), \([a;+\infty)\), ... được định nghĩa một cách tương tự.
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
- Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \(R\).
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
- Định lí 2:
Giả sử \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:
a) Các hàm số \(y=f\left(x\right)+g\left(x\right)\), \(y=f\left(x\right)-g\left(x\right)\) và \(y=f\left(x\right).g\left(x\right)\) liên tục tại \(x_0\);
b) Hàm số \(y=\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g\left(x_0\right)\ne0\).
- Định lí 3:
Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) và \(f\left(a\right)f\left(b\right)< 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c\in\left(a;b\right)\) sao cho \(f\left(c\right)=0\).
Có thể phát biểu định lí 3 dưới một cách khác:
Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) và \(f\left(a\right)f\left(b\right)< 0\) thì phương trình \(f\left(x\right)=0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng \(\left(a;b\right)\).