Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khác- Định nghĩa:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K\).
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)\).
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) không liên tục tại \(x_0\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-2}\) tại \(x_0=3\).
Giải:
Hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-2}\) xác định trên \(R\backslash\left\{2\right\}\), do đó xác định trên khoảng \(\left(2;+\infty\right)\) có chứa \(x_0=3\).
Ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow3}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x}{x-2}=3=f\left(3\right)\)
Vậy hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{x-2}\) liên tục tại \(x_0=3\).
- Định nghĩa:
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số \(y=f\left(x\right)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left(a;b\right)\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f\left(x\right)=f\left(a\right)\) , \(\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f\left(x\right)=f\left(b\right)\).
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như \((a;b]\), \([a;+\infty)\), ... được định nghĩa một cách tương tự.
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
- Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \(R\).
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
- Định lí 2:
Giả sử \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) là hai hàm số liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:
a) Các hàm số \(y=f\left(x\right)+g\left(x\right)\), \(y=f\left(x\right)-g\left(x\right)\) và \(y=f\left(x\right).g\left(x\right)\) liên tục tại \(x_0\);
b) Hàm số \(y=\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g\left(x_0\right)\ne0\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(h\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2-2x}{x-1}\left(x\ne1\right)\\5\left(x=1\right)\end{matrix}\right.\). Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Giải:
Tập xác định của hàm số là \(R\).
Nếu \(x\ne1\) thì \(h\left(x\right)=\dfrac{2x^2-2x}{x-1}\).
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là \(\left(-\infty;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\).
Nếu \(x=1\) thì \(h\left(1\right)=5\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow1}h\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x^2-2x}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x\left(x-1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}2x=2\)
Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow1}h\left(x\right)\ne h\left(1\right)\) nên hàm số đã cho không liên tục tại \(x=1\).
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\), \(\left(1;+\infty\right)\) và gián đoạn tại \(x=1\).
- Định lí 3:
Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) và \(f\left(a\right)f\left(b\right)< 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c\in\left(a;b\right)\) sao cho \(f\left(c\right)=0\).
Có thể phát biểu định lí 3 dưới một cách khác:
Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên đoạn \(\left[a;b\right]\) và \(f\left(a\right)f\left(b\right)< 0\) thì phương trình \(f\left(x\right)=0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng \(\left(a;b\right)\).
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình \(x^3+2x-5=0\) có ít nhất một nghiệm.
Giải:
Xét hàm số \(f\left(x\right)=x^3+2x-5\)
Ta có \(f\left(0\right)=-5\) và \(f\left(2\right)=7\). Do đó \(f\left(0\right).f\left(2\right)< 0\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \(R\) do đó nó liên tục trên đoạn \(\left[0;2\right]\). Từ đó suy ra phương trình \(f\left(x\right)=0\) có ít nhất một nghiệm \(x_0\in\left(0;2\right)\).