Bài 2: Tích phân

Nội dung lý thuyết

Các phiên bản khác

TÍCH PHÂN

I. Khái niệm tích phân

1) Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng giới hạn bới f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.

> ^ y x a b A B

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) (Tức là F'(x) = f(x)) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: (cách chứng minh tham khảo trong SGK).

     \(S=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

(Như vậy, nguyên hàm của hàm số và diện tích giới hạm bởi đồ thị hàm số có liên hệ với nhau!)

2) Định nghĩa tích phân

Hiệu F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f(x) và được kí hiệu là:

    \(\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}=F\left(x\right)|^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

Ta có công thức tính diện tích hình thang cong ở trên như sau:

    \(S=\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) với F(x) là nguyên hàm của f(x)

Ví dụ: 

Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}x^2\), trục hoành và 2 đường thằng x = 1 và x =4 (xem hình vẽ)

Giải:

Diện tích hình thang cong bằng:

   \(\int_1^4\frac{1}{2}x^2dx=\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+C\right)|^4_1=\frac{1}{6}x^3|^4_1=\frac{1}{6}.4^3-\frac{1}{6}.1^3=\frac{63}{6}\)

II. Tính chất của nguyên hàm

TC1:     \(\int_a^bk.f\left(x\right)\text{dx}=k.\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}\) (với k là hằng số)

TC2:   \(\int\limits^b_a\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_ag\left(x\right)\text{dx}\)

TC3:  \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}=\int\limits^c_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_cf\left(x\right)\text{dx}\)

III. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}\)

Giải:  \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}=\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{2.\sin^2x}\text{dx}\) \(=\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}\)

         \(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}+\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left|\sin x\right|\text{dx}\)\(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{dx}+\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left(-\sin x\right)\text{dx}\)  (chú ý: trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=\sin x\), còn trong đoạn \(\left[\pi;2\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=-\sin x\))

         \(=\sqrt{2}\left(-\cos x\right)|^{\pi}_0+\sqrt{2}\cos x|^{2\pi}_{\pi}\) \(=\sqrt{2}\left(1+1\right)+\sqrt{2}\left(1+1\right)=4\sqrt{2}\)

Ví dụ 2: (Tốt nghiệp THPT 2008) Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 (3x^2-2x+1)dx$.

ĐS: $I=1$

Ví dụ 3: (Tốt nghiệp THPT 2004) Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{x^2-5x+6}$.

ĐS: $I=$

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN