Bài 2: Tích phân

TÍCH PHÂN

I. Khái niệm tích phân

1) Diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng giới hạn bới f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.

> ^ y x a b A B

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) (Tức là F'(x) = f(x)) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: (cách chứng minh tham khảo trong SGK).

     \(S=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

(Như vậy, nguyên hàm của hàm số và diện tích giới hạm bởi đồ thị hàm số có liên hệ với nhau!)

2) Định nghĩa tích phân

Hiệu F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f(x) và được kí hiệu là:

    \(\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}=F\left(x\right)|^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)\)

Ta có công thức tính diện tích hình thang cong ở trên như sau:

    \(S=\int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\) với F(x) là nguyên hàm của f(x)

Ví dụ: 

Tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị \(y=\frac{1}{2}x^2\), trục hoành và 2 đường thằng x = 1 và x =4 (xem hình vẽ)

Giải:

Diện tích hình thang cong bằng:

   \(\int_1^4\frac{1}{2}x^2dx=\left(\frac{1}{2}.\frac{1}{3}x^3+C\right)|^4_1=\frac{1}{6}x^3|^4_1=\frac{1}{6}.4^3-\frac{1}{6}.1^3=\frac{63}{6}\)

II. Tính chất của nguyên hàm

TC1:     \(\int_a^bk.f\left(x\right)\text{dx}=k.\int_a^bf\left(x\right)\text{dx}\) (với k là hằng số)

TC2:   \(\int\limits^b_a\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{dx}=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_ag\left(x\right)\text{dx}\)

TC3:  \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}=\int\limits^c_af\left(x\right)\text{dx}+\int\limits^b_cf\left(x\right)\text{dx}\)

III. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}\)

Giải:  \(\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{1-\cos2x}\text{dx}=\int\limits^{2\pi}_0\sqrt{2.\sin^2x}\text{dx}\) \(=\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}\)

         \(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}+\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left|\sin x\right|\text{dx}\)\(=\sqrt{2}\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{dx}+\sqrt{2}\int\limits^{2\pi}_{\pi}\left(-\sin x\right)\text{dx}\)  (chú ý: trong đoạn \(\left[0;\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=\sin x\), còn trong đoạn \(\left[\pi;2\pi\right]\) thì \(\left|\sin x\right|=-\sin x\))

         \(=\sqrt{2}\left(-\cos x\right)|^{\pi}_0+\sqrt{2}\cos x|^{2\pi}_{\pi}\) \(=\sqrt{2}\left(1+1\right)+\sqrt{2}\left(1+1\right)=4\sqrt{2}\)

Ví dụ 2: (Tốt nghiệp THPT 2008) Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 (3x^2-2x+1)dx$.

ĐS: $I=1$

Ví dụ 3: (Tốt nghiệp THPT 2004) Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{dx}{x^2-5x+6}$.

ĐS: $I=$

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Hỏi đáp

Câu 2 (Gửi bởi Game Stream)
Trả lời
1
Gửi câu hỏi cho chủ đề này Hỏi đáp, trao đổi bài
Loading...

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...