Bài 2: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng \(ax+b=0\), với \(a\) và \(b\) là các số cho trước và \(a\ne0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

+) Phương trình \(2x+5=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

+) Phương trình \(3-5y=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

+) Phương trình \(4+2t=0\) là một phương trình bậc nhất một ẩn.

Để giải các phương trình bậc nhất một ẩn, ta thường dùng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân (nêu ở phần sau)

2. Quy tắc chuyển vế

Quy tắc:

Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Với phương trình \(x+2=0\), ta có thể chuyển vế hạng tử \(+2\) và đổi dấu của nó thành \(-2\), ta được \(x=-2\).

Có thể viết thành: \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

Ví dụ: 

+) \(x-4=0\) \(\Leftrightarrow x=4\)

+) \(\dfrac{3}{4}-x=0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}=x\) hay \(x=\dfrac{3}{4}\)

+) \(0,5+x=0\Leftrightarrow x=-0,5\)

3. Quy tắc nhân với một số

Quy tắc:

Trong cùng một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế của nó với cùng một số khác 0.

Ví dụ: Đối với phương trình \(2x=6\), ta có thể nhân cả 2 vế với cùng một số \(\dfrac{1}{2}\), ta được \(2x.\dfrac{1}{2}=6.\dfrac{1}{2}\) hay \(x=3\). 

Ví dụ:

+) \(3x=5\) \(\Leftrightarrow3x.\dfrac{1}{3}=5.\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{3}\)

+) \(\dfrac{1}{3}x=4\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}x.3=4.3\Leftrightarrow x=12\)

Chú ý rằng, trong ví dụ trên, khi nhân cả 2 vế với cùng một số \(\dfrac{1}{2}\) cũng có nghĩa là ta chia cả 2 vế cho cùng một số là 2.

Quy tắc nhân còn có thể phát biểu:

Trong một phương trình, ta có thể chia cả 2 vế của nó cho cùng một số khác 0.

Ví dụ:

+) \(4x=7\Leftrightarrow\dfrac{4x}{4}=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\)

+) \(-2,5x=10\Leftrightarrow\dfrac{-2,5x}{-2,5}=\dfrac{10}{-2,5}\Leftrightarrow x=-4\)

4. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Ta thừa nhận rằng: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(3x-9=0\).

Ta có: \(3x-9=0\)

      \(\Leftrightarrow3x=9\)  (thực hiện chuyển vế hạng tử +9 và đổi dấu thành -9)

      \(\Leftrightarrow x=3\)  (chia cả 2 vế cho 3)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=3\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(1-\dfrac{7}{3}x=0\).

Ta có: \(1-\dfrac{7}{3}x=0\) 

       \(\Leftrightarrow-\dfrac{7}{3}x=-1\)

       \(\Leftrightarrow x=\left(-1\right):\left(\dfrac{-7}{3}\right)\)

       \(\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{7}\)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{3}{7}\right\}\)

Tổng quát:

Phương trình \(ax+b=0\) (\(a\ne0\)) được giải như sau:

\(ax+b=0\) \(\Leftrightarrow ax=-b\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{a}\).

Ví dụ 1: Giải phương trình \(10-4x=2x-3\).

Ta có: \(10-4x=2x-3\)

     \(\Leftrightarrow-4x-2x=-3-10\)

     \(\Leftrightarrow-6x=-13\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{-13}{-6}\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{6}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{13}{6}\right\}\)

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left(x+1\right)^2=x\left(x-2\right)+3\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2=x\left(x-2\right)+3\)

     \(\Leftrightarrow x^2+2x+1=x^2-2x+3\)

     \(\Leftrightarrow x^2+2x-x^2+2x=3-1\)

     \(\Leftrightarrow4x=2\)

     \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\).