\(ĐKXĐ:x\ge-1\)

Đặt \(A=\sqrt{x+2\left(1+\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt{x+2\left(1-\sqrt{x+1}\right)}\)

\(=\sqrt{x+1+2\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+1}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x+1}+1\right|+\left|\sqrt{x+1}-1\right|\)

\(=\left|\sqrt{x+1}+1\right|+\left|1-\sqrt{x+1}\right|\)

\(\ge\left|\sqrt{x+1}+1+1-\sqrt{x+1}\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(1-\sqrt{x+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow x\le0\). Mà \(x\ge-1\) Nên \(-1\le x\le0\)

Vậy Min \(A=2\) khi \(-1\le x\le0\)

Bài làm sai, thiếu giá trị của $x$, ĐKXĐ loằng ngoằng. 

Chị/anh xem lại nhé! Đây là câu cuối của đề thi tuyển sinh 10 năm nay ở Khánh Hòa.

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}-1+x>0\\x+2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\x\ge-2\end{matrix}\right.\)

Bạn sai rồi nhé. Xem lại chỗ bình phương.

\(ĐKXĐ:a>0,a\ne\pm1\)

Có : \(P=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}\right):\dfrac{\sqrt{a}+1}{3}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{a}+1}{3}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\dfrac{\sqrt{a}+1}{3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{3}{\sqrt{a}-1}\)

Vậy \(P=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\) với \(x>0,x\ne\pm1\)

Không Holder thì Svacxo nha :v

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)

Ta có sẽ đi chứng minh :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)

Thật vậy theo Bunhiacopxki có :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)

Ta lại đi chứng minh :

\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )

Do đó nhân vào ta có đpcm.