Xét elip \(\left(E\right):x^2+4y^2=1\) và các mệnh đề:
(1) \(\left(E\right)\) có trục lớn bằng 1 ; (2) \(\left(E\right)\) có trục nhỏ bằng 4.
(3) Điểm \(F\left(0;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) là một tiêu điểm của \(\left(E\right)\) ; (4) Tiêu cự của \(\left(E\right)\) bằng 3.
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
(1) (2) và (4) (3) và (1) (4) Hướng dẫn giải:Viết lại phương trình của \(\left(E\right)\) : \(x^2+4y^2=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=1\)
Từ đó suy ra \(a^2=1;b^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=\dfrac{3}{4}\). Do đó \(a=1,b=\dfrac{1}{2},c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Vì vậy:
- \(\left(E\right)\) có trục lớn bằng \(2a=2\); trục nhỏ bằng \(2b=1\). Do đó (1) và (2) đều sai.
-Tiêu điểm của \(\left(E\right)\) là \(F\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};0\right),F'\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0\right)\) nên mệnh đề (3) đúng.
- \(\left(E\right)\)có tiêu cự bằng \(2c=\sqrt{3}\) nên mệnh đề (4) đúng