Viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm O, trục lớn nằm trên Ox, qua điểm \(M\left(\sqrt{5};-2\right)\) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.
\(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1\) \(\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{6}=1\) \(\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{9}=1\) Hướng dẫn giải:Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), hai đường chuẩn là \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\dfrac{2a^2}{c}\), theo giả thiết có \(\dfrac{2a^2}{c}=10\)
suy ra \(a^2=5c\), \(b^2=a^2-c^2=5c-c^2\) và phương trình của elip là \(\dfrac{x^2}{5c}+\dfrac{y^2}{5c-c^2}=1\).
Giả thiết elip qua \(M\left(\sqrt{5};-2\right)\) suy ra
\(\dfrac{5}{5c}+\dfrac{4}{5c-c^2}=1\Leftrightarrow c^3-6c^2-9c=0\Leftrightarrow c\left(c-3\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow c=3\).
Phương trình elip là \(\dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{6}=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{15}+\dfrac{y^2}{6}=1\).