Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) và điểm \(M\) nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{1}=1\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) \(\dfrac{5x^2}{81}+\dfrac{5y^2}{18}=1\) \(\dfrac{5x^2}{4^2}+\dfrac{35y^2}{16^2}=1\) Hướng dẫn giải:(E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(c^2=a^2-b^2\).
Giả thiết \(M\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}}\right)\) thuộc (E) có nghĩa là \(\dfrac{9}{5a^2}+\dfrac{16}{5b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{9}{5\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{16}{5b^2}=1\)(1).
Gọi \(F\left(c;0\right),F'\left(-c;0\right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Giả thiết M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới một góc vuông có nghĩa là tam giác FF'M vuông với cạnh huyền FF' \(\Leftrightarrow OM=OF\) (vì O là trung điểm cạnh huyền FF') \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{9}{5}+\dfrac{16}{5}}=c\Leftrightarrow c=\sqrt{5}\). Thế \(c=\sqrt{5}\) vào (1) ta được phương trình
\(\dfrac{9}{b^2+5}+\dfrac{16}{b^2}=5\Leftrightarrow25b^2+16.5=5b^4+25b^2\)\(\Leftrightarrow b^2=4,a^2=b^2+5=9\)
Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)