Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm \(M\left(-2;12\right)\) và có \(F\left(-7;0\right)\) là một tiêu điểm?
\(\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{16y^2}{15}=1\) \(\dfrac{x^2}{196}+\dfrac{y^2}{147}=1\) \(\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{165y^2}{156^2}=1\) \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{32y^2}{32}=1\) Hướng dẫn giải:(E) có phương trình tổng quát \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Từ giả thiết suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{144}{b^2}=1\\c=7\end{matrix}\right.\) trong đó \(c^2=a^2-b^2\). Từ đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{144}{b^2}=1\\a^2-b^2=c^2=49\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{b^2+49}+\dfrac{144}{b^2}=1\\a^2=b^2+49\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}148b^2+49.144=b^4+49b^2\\a^2=b^2+3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^4-99b^2-49.144=0\\a^2=b^2+49\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2=147\\a^2=196\end{matrix}\right.\)
Phương trình chính tắc của (E) là \(\dfrac{x^2}{196}+\dfrac{y^2}{147}=1\)