Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm O, một tiêu điểm là \(F_1\left(-\sqrt{3},0\right)\) và đi qua điểm \(M\left(\sqrt{3};-\frac{1}{2}\right)\).
\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\) \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\) \(\frac{x^2}{4}+2y^2=1\) Hướng dẫn giải:Vì \(F_1\left(-\sqrt{3},0\right)\) là một tiêu điểm nên suy ra \(c=\sqrt{3}\); \(b^2=a^2-c^2=a^2-3\). Phương trình của elip có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-3}=1\) \(\left(a^2>3\right)\)
Điểm \(M\left(\sqrt{3};-\dfrac{1}{2}\right)\in\left(E\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4\left(a^2-3\right)}=1\Leftrightarrow4a^4-25a^2+36=0\) \(\Leftrightarrow a^2=\dfrac{9}{4}\) (loại vì vi phạm điều kiện \(a^2>3\)) ; \(a^2=4\) (thỏa mãn điều kiện ).
Elip có phương trình \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)