Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình \(\begin{cases}mx+y=3\\x+my=2m+1\end{cases}\) có nghiệm nguyên ( x, y đều là những số nguyên)
\(m=0;m=-2;m=1\).\(m=-1;m=2;m=3\).\(m=0;m=2;m=-1\).\(m=1;m=-3;m=4\).Hướng dẫn giải:Hệ đã cho có các định thức \(D=m^2-1;D_x=m-1;D_y=2m^2+m-3\).
Nếu \(m=1\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\x+y=3\end{matrix}\right.\), hệ có vô số nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=3-t\end{matrix}\right.\) \(\left(t\in R\right)\), trong đó cũng có vô số nghiệm nguyên (ứng với các t nguyên).
Nếu \(m=-1\) thì hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}-x+y=3\\x-y=-1\end{matrix}\right.\) , hệ vô nghiệm.
Nếu \(m\ne\pm1\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{m-1}{m^2-1}=\dfrac{1}{m+1};y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{2m^2+m-3}{m^2-1}=\dfrac{2m+3}{m+1}=2+\dfrac{1}{m+1}\).
Hệ sẽ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi \(m+1\) là ước số nguyên của 1, tức là \(m+1=\pm1\Leftrightarrow m=0;m=-2\).
Đáp số: \(m=0;m=1;m=-2\).