Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình \(\begin{cases}3x-y=2-a\\x+2y=a^2+1\end{cases}\) có nghiệm \(\left(x;y\right)\) với \(x^2-y^2\) lớn nhất.
\(\frac{3}{5}\).\(-\frac{3}{5}\).\(\frac{4}{5}\).\(-\frac{4}{5}\).Hướng dẫn giải:Hệ đã cho có các định thức \(D=7;D_x=5-a;D_y=4a+1\), hệ có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{5-a}{7},y=\dfrac{4a+1}{7}\).
Ta có \(x^2-y^2=\left(\dfrac{5-a}{7}\right)^2-\left(\dfrac{4a+1}{7}\right)^2=\dfrac{3}{49}\left(-5a^2-6a+8\right)\)\(=\dfrac{3}{49}[\dfrac{49}{5}-5\left(a+\dfrac{3}{5}\right)^2]\le\dfrac{3}{5}\).
Vậy yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi \(a=-\dfrac{3}{5}\).