Một elip (E) có tâm O, hai trục đối xứng là hai trục tọa độ. Điểm \(M\left(8;12\right)\in E\) có bán kính qua tiêu điểm trái \(F_1M=20\). Tính tâm sai của (E)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\)Hướng dẫn giải:
Xét tiêu điểm bên trái \(F_1\left(-c;0\right)\), ta có \(F_1M=\sqrt{\left(8+c\right)^2+144}\). Do \(F_1M=20\Rightarrow\left(8+c\right)^2+144=400\Rightarrow8+c=16\) \(\Leftrightarrow c=8\).
Do đó \(b^2=a^2-c^2=a^2-64\) và (E) có phương trình chính tắc dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-64}=1\). Sử dụng giả thiết M(8;12) thuộc (E) suy ra:
\(\dfrac{64}{a^2}+\dfrac{144}{a^2-64}=1\) hay \(a^4-272a^2+4096=0\), suy ra \(a^2=256\), \(a=16,\) \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\).
Đáp số: \(\dfrac{1}{2}\)