Ta có \(9x-4y=\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\left(3\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)\)là số hữu tỷ

Vì \(\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\)(1) là số hữu tỷ nên \(\left(3\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)\)(2) cũng là số hữu tỷ

Lấy (2) - (1) và (2) + (1) ta được

\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{y}\\6\sqrt{x}\end{cases}}\)là 2 số hữu tỷ vậy \(\sqrt{x},\sqrt{y}\)là hai số hữu tỷ

a) \(x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow-7x^2-9x+4+x^3+3x^2+4x+2=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow-\left(7x^2+9x-4\right)+\left(x+1\right)^3+x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\) (*)

Đặt \(\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a;x+1=b\)

Khi đó (*) \(\Leftrightarrow-a^3+b^3+b=a\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right).\left(b^2+ab+a^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b=a\)

Hay \(x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=7x^2+9x-4\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x-x+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\end{cases}}\)

\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\)  (\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) (\(\sqrt{xy}-1>0\))

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{xy}=x+y-xy-1\)

Vì x, y nguyên nên \(\sqrt{xy}\) cũng phải nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) nguyên  (1)

Ta lại có: 

\(x-y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}\) nguyên (2)

Lấy (1) + (2) và  (1) - (2) ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x},\sqrt{y}\) là số nguyên

Vậy x, y là bình phương đúng của 1 số nguyên.

mình sửa lại cái đề là: x, y nguyên nha m.n

Thật ra là có thể tìm được luôn là: \(\left(x,y\right)=\left(4,9;9,4\right)\)luôn đấy. 

\(\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{3x}-\sqrt{y}\Leftrightarrow2-\sqrt{3}=3x+y-2\sqrt{3xy}\)

\(\Leftrightarrow3x+y-2=2\sqrt{3xy}-\sqrt{3}\)(1)

Để phương trình đầu có nghiệm hữu tỉ=> phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ x,y

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{3xy}-\sqrt{3}=0\\3x+y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{xy}-1=0\\3x+y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{4}\\y=2+3x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(2-3x\right)=\frac{1}{4}\\y=2-3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12x^2-8x+1=0\\y=2-3x\end{cases}}\)

phân tích thành nhân tử r làm tiếp nhé