Ai giúp gấp nhé:D

Ta có : a² + b² = c² + d²

a² + b² + c² + d² = 2 ( a² + b² ) ⋮2 nên là hợp số

Ta có : a² + b² + c² + d² - ( a + b + c + d ) 

= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2

a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số

Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn

Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn

⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn

Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0

⇒ a+b+c+d là hợp số

Lời giải:

Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$

$=(ad+bc)t$

Mà: 

$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$

Tương tự: $t> ac+bd$

Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:

$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$

Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý 

Do đó ta có đpcm.

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

12632t54s jsd

\(\left(ad+bc\right)\left(a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+adb^2c^2+bca^2d^2+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+abcd\left(bc+ad\right)+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+abcd.0+b^3c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3d^3+b^3c^3=0\)

- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)

- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\)  trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)

Vậy \(a=b=c=0\)

Có : a + b + c = 0

=> (a + b)⁵ = (-c)⁵

      a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = -c⁵

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5a⁴b - 10a³b² - 10a²b³ - 5ab⁴

       a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab(a³ + 2a²b + 2ab² + b³)

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab[(a³ + b³) + (2a²b + 2ab²)]

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab[(a + b)(a² - ab + b²) + 2ab(a + b)]

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab(a + b)(a² + b² + ab)  

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = 5abc(a² + b² + ab)   (do a+b+c=0=> a+b=-c)

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(2a² + 2b² + 2ab)

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc[a² + b² +(a² + 2ab + b²)]

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc[a² + b² + (a + b)²]

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²)    (do a+b=-c=> (a +b )² = c²

    \(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy...

b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0

Đặt a=3x-2; b=-2x-3

Pt sẽ trở thành:

a^5+b^5-(a+b)^5=0

=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0

=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0

=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0

=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0

=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0

=>ab(a+b)=0

=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)