Tham khảo:

Đặt \(\sqrt{x^2+2012}=t>0\Rightarrow2012=t^2-x^2\)

Pt trở thành:

\(x^4+t=t^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow x^4-t^2+x^2+t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+t\right)\left(x^2-t+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=t\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{x^2+2012}\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^2+1=x^2+2012\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2-2011=0\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{8045}}{2}}\)

\(\sqrt{x+2012}=2012-x^2\)

Bình phương hai vế ta được : 

\(x+2012=x^4-4024x^2+2012^2\)

<=> \(x^4-4024x^2-x+2012.2011=0\)

<=> \(\left(x^2-x-2012\right)\left(x^2+x-2011\right)=0\)

Bạn lớp 9 nên chắc học công thức nghiệm rồi nhỉ, tự giải tiếp nha :D

a,

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x}=\frac{x-1}{\sqrt{6-x}+\sqrt{-5-2x}}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}+\sqrt{-5-2x}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}-\sqrt{-5-2x}\\-\sqrt{1-x}=\sqrt{6-x}+\sqrt{-5-2x}\end{cases}}\)

b,tự nàm

c,

\(\Leftrightarrow64x^2-64x-64=64\sqrt{8x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(8x+1\right)^2=10\left(8x+1\right)+64\sqrt{8x+1}+55\)

đặt \(\sqrt{8x+1}=a\)

=>a⁴=10a²+64a+55

nhận thấy phương trình có dạng x⁴=ax²+bx+c

tìm số m sao cho b²-4(2m+a)(m²+c)=0

sau đó đưa về (x²+m)²=k² với k là 1 số bất kì,sau đó giải ra

b)đk \(x\ge1\)

 \(\sqrt{1+x^2+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}}+\frac{x}{x+1}=\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^2+x^2.\left(x+1\right)^2+x^2}{\left(x+1\right)^2}}+\frac{x}{x+1}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}{\left(x+1\right)^2}}+\frac{x}{x+1}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}}+\frac{x}{x+1}\)

\(=\frac{x^2+x+1}{x+1}+\frac{x}{x+1}=x+1\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2012^2+\frac{2012^2}{2013^2}}+\frac{2012}{2013}=2013\)

\(\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=2013\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=2013\)

\(\Leftrightarrow x+\left|x-2\right|=2014\)

giai 2 pt 

pt1 x+x-2=2014

x=1008

pt2 x+2-x=2014(vô lý)

ý c cái a đặt có 1 nghiệm là a=5 đó

Áp dụng BĐT Cô - si ngược dấu :

\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(x-2010\right)}\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-2010}-1\le\frac{4+\left(x-2010\right)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\le\frac{1}{4}\)

Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại 

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2010=4\\x-2011=4\\z-2012=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2015\\z=2016\end{cases}}}\)

\(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2+4x+4}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}\)

\(=|1-x|+|x+2|\ge|1-x+x+2|=3\)

\(x\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

Làm nốt