\(5x^2+2y^2-4xy+20x-8y\)

\(=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+20x+100\right)+y^2-8y+16-116\)

\(=\left(2x-y\right)^2+\left(x+10\right)^2+\left(y-4\right)^2-116\ge-116\)

GTNN của biểu thức = -116

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y=0\\x+10=0\\y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y=0\\x=-10\\y=4\end{cases}}}\)( Vô lí )

=> Không tìm được giá trị nào của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất .

Bài 1

a) \(A=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)=2x^2+x-1=2\left(x^2+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)=2\left(x^2+2.\frac{1}{4}.x+\frac{1}{16}-\frac{9}{16}\right)\)\(=2\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{16}\right]=2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{9}{8}\ge-\frac{9}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\)

Vậy minA=-9/8 khi x=-1/4

b)\(B=4x^2-4xy+2y^2+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+y^2+1=\left(2x-y\right)^2+y^2+1\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y\right)^2\ge0\\y^2\ge0\end{cases}}\)=>\(\left(2x-y\right)^2+y^2\ge0\Rightarrow B=\left(2x-y\right)^2+y^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi (2x-y)²=y²=0 <=> 2x-y=y=0 <=> x=y=0

Vậy minB=1 khi x=y=0

lý luận tương tự bài 1, bài này mình làm tắt

Bài 2:

a) \(C=5x-3x^2+2=-\left(3x^2-5x-2\right)=-3\left(x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\right)\)

\(=-3\left(x^2-2.\frac{5}{6}.x+\frac{25}{35}-\frac{49}{36}\right)=-3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{49}{36}\right]=\frac{49}{12}-3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2\le\frac{49}{12}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=5/6

b)\(D=-8x^2+4xy-y^2+3=3-\left(8x^2-4xy+y^2\right)=3-\left[\left(4x^2-4xy+y^2\right)+4x^2\right]\)

\(=3-\left[\left(2x-y\right)^2+4x^2\right]\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=0

Câu 1:

\(=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-8y+16\right)+5\\ =\left(2x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2+5\ge5\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y\\x=2\\y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó \(MN=\dfrac{1}{2}BC=3\left(cm\right)\)

\(a,A=3x^2-5x+1\)

\(=3\left(x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}\right)-\dfrac{13}{12}\)

\(=3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{13}{12}\)

Với mọi giá trị của x ta có:

\(\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{13}{12}\ge-\dfrac{13}{12}\)

Vậy Min \(A=-\dfrac{13}{12}\)

Để \(A=-\dfrac{13}{12}\) thì \(x-\dfrac{5}{6}=0\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}\)

\(b,B=2x^2+5y^2-4x+2y+4xy+2017\)

\(=\left(2x^2-4x+4xy\right)+5y^2+2y+2017\)

\(=2\left(x^2-2x+2xy\right)+5y^2+2y+2017\)

\(=2\left[x^2-2x\left(1-y\right)+\left(1-y\right)^2\right]+5y^2+2y+2017+2\left(1-y\right)^2\)\(=2\left(x-1+y\right)^2+5y^2+2y+2017-2\left(1-y\right)^2\)

\(=2\left(x+y-1\right)^2+5y^2+2y+2017-2+4y-2y^2\)\(=2\left(x+y-1\right)^2+3y^2+6y+2015\)

\(=2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y^2+2y+1\right)+2012\)

\(=2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+2012\)

Với mọi giá trị của x ta có:

\(2\left(x+y-1\right)^2\ge0;3\left(y+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+2012\ge2012\) Vậy : Min B = 2012

Để B = 2012 thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Bài làm:

Ta có: \(4x^2+2y^2+4xy-4x-8y+15\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-2\left(2x+y\right)+1+y^2-6y+9+5\)

\(=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)+1+\left(y-3\right)^2+5\)

\(=\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy \(Min=5\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

4x² + 2y² + 4xy - 4x - 8y + 15

= [ ( 4x² + 4xy + y² ) - 2( 2x + y ) + 1 ] + ( y² - 6y + 9 ) + 5 

= ( 2x + y - 1 )² + ( y - 3 )² + 5

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow}\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+y-1=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy GTNN của biểu thức = 5 <=> x = -1 ; y = 3

Ta có:\(4x^2+2y^2+4xy-4x-8y+15\)

   \(=2\left(x^2+2xy+y^2\right)-8\left(x+y\right)+8+2x^2+4x+2+5\)

   \(=2\left(x+y\right)^2-2.4\left(x+y\right)+2.4+2\left(x^2+2x+1\right)+5\)

   \(=2\left(x+y-2\right)^2+2\left(x+1\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Dấu"=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}2\left(x+y-2\right)^2=0\\2\left(x+1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}}\)

Vậy \(Min=5\)khi \(x=-1;y=3\)

Ta có: P= \(5x^2+4xy+y^2+6x+2y+2016\)

          =  \(\left(4x^2+y^2+1+4x+2y+4xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2014\)

         =  \(\left(2x+y+1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2014\ge2014\)

(Vì \(\left(2x+y+1\right)^2\ge0;\left(x+1\right)^2\ge0\))

Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}2x+y+1=0\\x+1=0\end{cases}< =>}\hept{\begin{cases}y=1\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy min P =2014 khi x=-1; y=1