Xét △ ANK và  △ BKL :

AN = BK (gt)

∠ A = ∠ B = 90 0

AK = BL (vì AB = BC, BK = CL)

Do đó  △ ANK =  △ BKL (c.g.c)

⇒ NK = KL (1)

Xét  △ BKL và  △ CLM:

BK = CL (gt)

∠ B =  ∠ C =  90 0

BL = CM (vì BC = CD, CL = DM)

Do đó:  △ BKL =  △ CLM (c.g.c)

⇒ KL = LM (2)

Xét  △ CLM và  △ DMN :

CL = DM (gt)

∠ C =  ∠ D =  90 0

CM = DN (vì CD = DA, DM = AN)

Do đó:  △ CLM =  △ DMN (c.g.c)

⇒ LM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ NK = KL = LM = MN

Tứ giác MNKL là hình thoi

△ ANK =  △ BKL ⇒  ∠ (ANK) =  ∠ (BKL)

Trong tam giác ANK có A là góc vuông ⇒  ∠ (ANK) +  ∠ (AKN) =  90 0

⇒ ∠ (BKL) +  ∠ (AKN) =  90 0  hay  ∠ (NKL) =  90 0

Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.

* Xét ∆ CAB và  ∆ EMB, ta có:

CA = EM (gt)

∠ (ACB) = ∠ (MEB) = 90 0

CB = EB (tính chất hình vuông)

Suy ra:  ∆ CAB =  ∆ EMB (c.g.c)

⇒ AB = MB (1)

Ta có: AK = DK+ DA

CD = CA + AD

Mà CA = DK nên AK = CD

* Xét  ∆ CAB và  ∆ KIA, ta có:

CA = KI (vì cùng bằng DK)

∠ C =  ∠ K =  90 0

CB = AK (vì cùng bằng CD)

Suy ra:  ∆ CAB =  ∆ KIA (c.g.c)

⇒ AB = AI (2)

Ta có: DH = DK (vì KDHI là hình vuông)

Và EM = DK (gt)

Suy ra: DH = EM

⇒ DH + HE = HE + EM

Hay DE = HM

* Xét  ∆ HIM và  ∆ EMB, ta có: HI = EM (vì cũng bằng DK)

∠ H =  ∠ E =  90 0

HM = EB (vì cùng bằng DE)

Suy ra:  ∆ HIM =  ∆ EMB (c.g.c)

⇒ IM = MB (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM

Tứ giác ABMI là hình thoi.

Mặt khác, ta có  ∆ ACB =  ∆ MEB (chứng minh trên)

⇒  ∠ (CBA) =  ∠ (EBM)

Mà  ∠ (CBA) +  ∠ (ABE) =  ∠ (CBE) = 90 0

Suy ra:  ∠ (EBM) +  ∠ (ABE) =  90 0  hay  ∠ (ABM) =  90 0

Vậy tứ giác ABMI là hình vuông.

a: Sửa đề: ΔAEF vuông cân tại A

Xét ΔADF vuông tại D và ΔABE vuông tại B có

AD=AB

DF=BE

Do đó: ΔADF=ΔABE

=>AF=AE và \(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\)

mà \(\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=90^0\)

nên \(\widehat{DAF}+\widehat{DAE}=90^0\)

=>\(\widehat{FAE}=90^0\)

Xét ΔAEF có \(\widehat{FAE}=90^0\) và AE=AF

nên ΔAEF vuông cân tại A

b: Gọi giao điểm của AH với EF là M

H đối xứng A qua EF

=>EF là đường trung trực của HA

=>EH=EA và FH=FA

mà AH=AE

nên EH=EA=FH=FA

Xét tứ giác AEHF có

AE=HE=HF=FA

nên AEHF là hình thoi

Hình thoi AEHF có \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình vuông

Chứng minh các tam giác vuông ACB, IKA, IHM, MEB bằng nhau để suy ra AB = IA = IM = MB. Sau đó chứng minh \(\widehat{IAB}=90^0\)